不相交的字符串集 - 最小化问题

Question

有两组，s1 和 s2，每组都包含一对字母。只有当它们的字母顺序相同时，一对才等效于另一对，因此它们本质上是字符串（长度为 2）。集合s1 和s2 是不相交的，两个集合都不为空，并且每对字母只出现一次。

以下是这两个集合的示例：

s1 = { ax, bx, cy, dy }
s2 = { ay, by, cx, dx }

(s1 ∪ s2) 中所有字母的集合称为sl。集合sr 是您选择的一组字母，但必须是sl 的子集。您的目标是定义从sl 中的字母到sr 中的字母的映射m，当应用于s1 和s2 时，将生成集合s1' 和s2'，这也包含成对的字母，也必须是不相交的。

最明显的m 只是将每个字母映射到自身。在此示例中（如下所示），s1 等价于 s1'，s2 等价于 s2'（但对于任何其他 m，情况并非如此）。

a -> a
b -> b
c -> c
d -> d
x -> x
y -> y

目标是构造m，使sr（映射右侧的字母集）具有尽可能少的字母数。为此，您可以将sl 中的多个字母映射到sr 中的同一个字母。请注意，根据s1 和s2 以及m，您可能会破坏s1' 和s2' 必须不相交的规则。例如，将sl 中的每个字母映射到sr 中的单个字母，显然会违反该规则。

那么，给定s1 和s2，如何构造一个m 以最小化sr，同时确保s1' 和s2' 不相交？

这是问题的简化可视化：

Answer 1

这个问题是 NP 难的，为了说明这一点，考虑将图形着色减少到这个问题。

证明： 令 G=(V,E) 是我们要计算最小graph coloring 问题的图。形式上，我们要计算图的色数，即最低的k，其中 G 为k colourable。

要将图形着色问题简化为此处描述的问题，请定义

 s1 = { zu : (u,v) \in E }
 s2 = { zv : (u,v) \in E }

其中z 是一个在构造s1 和s2 之外未使用的魔法值。

通过上述集合的构造，对于任何映射m 和任何边(u,v)，我们必须有m(u) != m(v)，否则将违反s1' 和s2' 的不相交性。因此，任何最佳sr 是一组最佳颜色（z 除外），用于为图形 G 着色，m 是定义为哪个节点分配哪种颜色的映射。 QED。

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上面的证明可能会给人一种直觉，即研究图形着色近似值将是一个好的开始，而且确实可能​​会，但其中涉及一个混淆因素。这个混淆因素是对于两个元素ab \in s1 和cd \in s2，如果m(a) = m(c) 然后m(b) != m(d)。从逻辑上讲，这相当于声明m(a) != m(c) 或m(b) != m(d)。这些类型的约束，孤立地，不能自然地映射到类似的图问题（因为 or 语句）。

有多种方法可以将此问题表述为（二进制）ILP 并以此方式解决。与自定义设计和调整的分支定界实现相比，这可能会给您（稍微）较差的结果（假设您想找到最佳解决方案），但可以使用交钥匙求解器。

如果您对近似值（可能有保证的最优比率）更感兴趣，我会调查 SDP 对您的问题的放松和适当的舍入方案。这种水平的工作可能会投资于一篇中小型研究论文。