计算数值范围内的子串的算法答案

【问题标题】：Algorithm for counting substrings in a numerical range计算数值范围内的子串的算法
【发布时间】：2013-10-05 11:22:18
【问题描述】：

我正在寻找一种可用于解决此问题的快速算法：给出 A 和 B 整数（在 [0,10^18] 范围内），并给出 N 的列表（N

示例 1：如果 A=10，B=22，并给出 N=2 个子字符串={1,10}；计数为 = 11；数数：10->19 和 21。

Example2: 如果 A=175, B=201, 并给出 N=3 个子串={55,0,200} ;计数为 = 4；数数：180、190、200 和 201。

直接的方法是依次分析 [A,B] 范围内的每个整数，但这不是解决方案，因为范围可能很大（直到 10^18 个整数）。

为了降低问题的复杂性，我做的第一件事是从 N 个子串的原始列表中删除一些无用的子串，这样“没有子串包含在另一个子串中”。例如：{1,10} 变为 {1}，{55,0,200} 变为 {55,0}。这不会改变最终计数。

接下来，即使假设我们可以得到 [A,B] 范围内的一个子字符串的计数，我们仍然不能将这个计数与列表中其他子字符串的计数相加，因为一个数字可以包含许多子字符串并且不应该计数不止一次。

有什么想法可以解决问题并获得想要的数量吗？

【问题讨论】：

+1 删除无用的子字符串
这个问题有时间限制吗？
@vbmaster，这是 ACM 编程竞赛中的一个问题，通常有几秒钟的时间限制......但实际上对我来说，即使是几分钟内的正确解决方案也是需要的......跨度>
下面的答案几乎是正确的，为了更清楚，你基本上需要多次申请Inclusion–exclusion principle。
有一种算法类似于 (i) 构造一个 DFA，该 DFA 将具有 N 之一的字符串识别为子字符串 (ii) 使用动态编程来计算匹配字符串的数量。

【解决方案1】：

我认为这更像是一个组合问题。

计算A和B之间数字的可能位数。例如2到2000之间，位数可以是1、2、3或4。1位数，你需要计算数字> 2 和 4 位数，你必须计算小于 2000 的数字，即从 1 开始。
对所有子字符串重复此操作。
现在您必须减去包含多个子字符串的字符串。对所有子字符串组合重复上述过程，并从计算值中减去它。

【讨论】：

但是……这个方法不够快，尤其是第4步……“对所有子串组合重复上述过程”，那是一个很大的数字
是的，但最多 18 位数字，不应该有很多子字符串可以共存于一个数字中。事实上，在删除无用的子字符串后，我认为最多 18 个子字符串可能共存。
例如 1000 到 1999 呢？我不认为其中任何一个都可以删除，至少我们需要将这些步骤做 C(1000,4) 次，这仍然是一个很大的数字。
是的，你是对的，我确信上述方法需要并且可以在效率方面进行改进。编辑：实际上对于您提供的子字符串范围，您只需要检查 1 后面有 3 位数字。
@AbhishekBansal，当我们处理许多子字符串（减法所需）时，我没有找到步骤（2）的公式。更准确地说：有 m 个子串，有多少个 k 位将它们全部包含在一起？