要执行的最大任务数

Question

我遇到了一个问题。我知道 dp 可以在这里应用，但没有得到它。

考虑从0 开始到10^9 结束的正数行的一部分。你从0开始，可以执行N个任务。

ith 任务位于l[i]，需要t[i] 时间才能执行。要执行ith 任务，您必须到达l[i] 点并在该位置花费时间t[i]。

在路径上移动一个单位需要一秒钟，即从 1 到 3 需要 (3 - 1) = 2 秒。

你有 T 秒的时间，在这段时间内你必须执行尽可能多的任务并返回到起始位置。 我需要找到可以在时间 T 中执行的最大值。

示例

考虑 M = 3、T = 10、l[] = [1, 2] 和 t[] = [3, 2]。

如果我们执行第一个任务，总耗时是 1（旅行）+ 3（做任务）= 4。剩余时间是 10 - 4 = 6。

现在如果我们连续执行第二个任务，总时间为 1（从 1 出发）+ 2（完成任务）= 3。剩余时间为 6 - 3 = 3。

现在如果我们从 2 回到 0。总时间是 2。剩余时间是 3 - 2 = 1。 因此，我们可以在给定的时间内安全地完成这两项任务。所以答案是 2。

约束很高：

1 <= N <= 10 ^ 5
0 <= T <= 10 ^ 8
0 <= l[i], t[i] <= 10 ^ 9

Answer 1

有一个最优解，我们从 0 到某个坐标 x 并返回，贪婪地选择区间 [0, x] 从最短到最长的任务。

可能有一个动态编程解决方案，但这不是我首先要达到的。相反，我会使用扫描线算法将 x 从 0 增加到 T/2，从而保持最佳解决方案。当 x 通过 l[i] 时，我们将任务 i 添加到议程中。每当当前议程占用太多时间时，我们就会放弃最长的任务。

算法在 Python 中看起来像这样（未经测试）。

import heapq


def max_tasks(T, l, t):
    x = 0
    heap = []
    opt = 0
    # Sweep the tasks left to right
    for l_i, t_i in sorted(zip(l, t)):
        # Increase x to l_i
        T -= 2 * (l_i - x)
        x = l_i
        # Add task i to the agenda
        T -= t_i
        # This is a min-heap, but we want the longest tasks first
        heapq.heappush(heap, -t_i)
        # Address a time deficit by dropping tasks
        while T < 0:
            if not heap:
                # Travelled so far we can't do any tasks
                return opt
            # Subtract because the heap elements are minus the task lengths
            T -= heapq.heappop(heap)
        # Update the optimal solution so far
        opt = max(opt, len(heap))
    return opt