通过边删除创建规则子图答案

【问题标题】：creating regular subgraph through edge deletion通过边删除创建规则子图
【发布时间】：2014-07-15 07:18:36
【问题描述】：

问题： 给定一个 Q 正则无向图，我正在寻找一种算法来通过边缘删除来识别一个 N 正则无向子图。 N

我尝试过的： 到目前为止，我最好的方法是找到一个哈密顿循环，并删除循环上的所有其他边。这很好地创建了一个 (Q-1)-regular 子图，并且原则上可以重复直到达到所需的规律性程度，或者我无意中创建了一个没有哈密顿循环的图。然而，这种方法很慢（这是我的主要问题），而且它依赖于哈密顿循环的其他完全不必要的限制，这有点问题。

我的问题： 任何人都可以提出哈密顿循环方法的替代方案，或者可能只是告诉我这个问题本质上是困难的，并且比哈密顿循环检测更快的解决方案是不可能的？我意识到我在这里与一些图论概念调情，但我担心我没有专业知识来更正式地构建它。

感谢您的宝贵时间:)

编辑： 我忘了说原始网络中的顶点数（= L）是偶数。我做了这个限制以确保可以创建一个规则图，因为如果 L 和 Q 都是奇数，这是不可能的，并且我希望对 Q 的限制尽可能少。其次，我确实希望保留所有顶点（因此我只提到了边缘删除）。

【问题讨论】：

通过哈密顿循环的方法不一定是一个好的方法，因为 a) 可能没有跨越所有原始顶点的 Q-1 正则子图，而可能存在其他 Q-1 - 正则子图和 b) 即使对于 Q 正则图 with Q ≥ 3，找到哈密顿循环也是 NP-hard。
另外，哈密顿循环方法要求顶点数是偶数。
您能否澄清一下您是否希望子图包含所有原始顶点？我现在才意识到你可能是那个意思。
您反复尝试找到一个 1 因子并将其删除。这通常不起作用；参见，例如，math.stackexchange.com/questions/520203/…。如果您可以通过某种方式找到一个并希望将其随机化，那么我在上一个问题中建议的马尔可夫链方法仍然适用（尽管我不知道收敛速度会是什么样子）。
@G.Bach：我知道哈密顿循环方法可能不是最理想的，这就是我来这里的原因:) 我对图论不是很有经验，所以我不能想出更好的东西。但是感谢您的 cmets :)

标签： algorithm graph subgraph

【解决方案1】：

我突然想到，Peter de Rivaz 的答案的一个变体是从原始图中找到 N 个连续的完整匹配，然后将网络构建为这 N 个匹配的连接。如果 N

【讨论】：

【解决方案2】：

在this article 中，作者提供了一种将特殊的Q-regular 图转换为Q-1 - regular 中的O(n^3) 的方法，这意味着对于某些特殊情况，您的问题可以在O(n^4) 中解决。你可能想看看这篇文章，看看它对你有没有帮助。

【讨论】：

请注意，论文摘要说该算法仅适用于特定的 Q-正则图族，并且在不属于该族的图中，还有另一族 Q-正则图不存在 Q-1 正则子图。
谢谢，你说得对，我误解了摘要。我已经更新了答案。

【解决方案3】：

另一种方法是构建最大匹配（例如使用Edmond's Blossom algorithm）。

这构造了一组边，使得每个顶点最多连接到一个边。

这可能比寻找哈密顿路径更有效，并且更有可能奏效（例如，对于断开连接的图）。

当且仅当每个顶点都连接到匹配中的一条边时，删除最大匹配中的边将导致 Q-1 正则图。（一个顶点不可能连接到多条边，但某些顶点可能连接到0条边。但是，我相信只有在不可能有Q-1规则时才会发生这种情况子图。）

要使其随机化，您可以考虑使用weighted matching algorithm 并使用随机权重。

【讨论】：

我不确定 Kaare 是否想要一种仅适用于婚姻图（即满足霍尔条件的图）的算法。您当然可以遍历所有诱导子图并检查其中哪些是婚姻图，但显然这将花费指数时间。
Agrred，尽管它应该适用于他当前方法适用的所有情况，以及一些其他情况（并且更快，这是他的主要关注点）。我相信只有在实际上根本不可能从原始图制作任何 Q-1 正则图时它才会失败。
它会比他提到的哈密顿循环方法更快，并且它会提供更多的案例，真的。我刚刚意识到 Kaare 没有明确指定子图是否应该包含所有原始顶点，所以这种方法实际上是正确的，以防他想要保留所有顶点。
@G.Bach 好点 - 我没有考虑到他可能想要一个省略一些顶点的子图，我想我们将不得不等待 Kaare 的澄清。