快速排序和插入排序混合预期运行时间答案

【问题标题】：quicksort and insertion sort hybrid expected running time快速排序和插入排序混合预期运行时间
【发布时间】：2012-03-22 18:43:48
【问题描述】：

我正在自学 CLRS 第 3 版，这是我遇到的一个比较棘手的问题，连同它的答案作为对所有人的服务。

7.4-5 在实践中，我们可以通过利用当其输入“几乎”排序时，插入排序的快速运行时间。调用时对少于k 元素的子数组进行快速排序，让它简单地返回而不对子数组进行排序。在对快速排序的顶级调用返回后，运行插入排序在整个数组上完成排序过程。认为这种排序算法在O(nk+nlg(n/k)) 预期时间运行。我们应该如何选择k，理论上都是在实践中？

【问题讨论】：

标签： algorithm complexity-theory quicksort insertion-sort clrs

【解决方案1】：

如果你评估方程nlgn > nk + nlog(n/k)，你会得到log k > k。这是不可能的。所以理论上是不可能的。但在实践中，插入排序和快速排序涉及到一些不变的因素。看看这个pdf 中讨论的解决方案。您可能想更新您的答案。 .

【讨论】：

【解决方案2】：

其实答案是k = 8。

你得到的算法是两个匿名函数的组合，一个是O(nk)，另一个是O(n lg n/k)。这些匿名函数隐藏了平均大小写常量。在平均情况下，插入排序在n^2/4 时间内运行，在平均情况下，随机快速排序在1.386 n lg n 时间运行。我们想找到一个k 的值，它使nk/4 + 1.386( n lg n/k ) 的值最小，等于nk/4 + 1.386 n lg n - 1.386 n lg k。这意味着找到函数1.386 lg k - k/4 的最大值。该最大值出现在k = 8。

【讨论】：

【解决方案3】：

叶子的大小在1 到k 之间的概率相等。
所以叶子的预期大小是k/2。
如果叶子的预期大小是k/2，那么我们期望n/(k/2)=(2n)/k 这样的叶子。
为简单起见，假设我们期望 n/k 这样的叶子，并且每个叶子的预期大小是 k。
INSERTION-SORT的预计运行时间为O(n^2)。
我们在练习 5.2-5 和问题 2-4c 中发现了这一点。
所以INSERTION-SORT使用的预期运行时间是O((n/k)*(k^2))=O(nk)。
如果我们希望我们的分区组大小为k，那么递归树的高度预计为lgn-lgk=lg(n/k)，因为我们希望更早停止lgk。
递归树的每一层都有O(n) 操作。
这将我们引向O(nlg(n/k))。
我们得出的结论是预期的运行时间是O(nk+nlg(n/k))。

理论上，我们应该选择k=lgn，因为这样我们可以获得O(nlgn)的最佳预期运行时间。

在实践中，我们应该将k 选择为lgn 周围的值之一，它可以为我们提供比仅运行RANDOMIZED-QUICKSORT 更好的性能。

答案的第二部分非常松散地使用大 O 表示法，因此要更精确地选择 k，请点击 Ankush 在第二个答案中给出的链接。

【讨论】：

你的回答有点错误。理论上最好的说法是 k 必须是某个函数，使得 k=O(lg n)。要精确选择 k，您必须查看插入排序和快速排序中涉及的平均大小写常量。
感谢您的反馈，您是对的。当我第一次发布问题及其答案时，我对问题的第一部分更感兴趣，并且在某种意义上跳过了它的第二部分。
你也在OpenU学习吗？这个学期我们的妈妈有这个问题。
我很早就毕业了，我在空闲时间学习这本书。