计算大 Theta 表示法冒泡排序

Question

我正在尝试计算冒泡排序的 theta 符号，但我遇到了困难。给定这个过程（伪代码）：

procedure BUBBLE_SORT(A,n) {
    array A(1 to n)
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j <= n-1; j++) {
            if(A[j] > A[j+1] {
                //swap(A(j), A(j+1))
            }
        }
    }
}

我能够使用 sigma 表示法获得最坏情况下的运行时间：

(n^2 - n) / 2

为了最好的案例运行时间，我按照我的书做了这个：

给定 p(n) = (n^2 - n) / 2，我们声称 p(n) = Θ(n^2)。为了证明这一点，我们展示了对于一些常数 c1、c2 和 n0：

C1n^2

两边除以n^2，我们得到：

C1

这就是我迷路的地方。书中作者挑出一些数字，插上去说“因此得出p(n) = Θ(n^2)”

我如何知道要插入哪些数字？我可以插入任何数字吗？如果这些数字确实符合不等式，这是否意味着我可以立即说算法是 Θ(n^2)？

谢谢！

Answer 1

我们有兴趣找到C1 和C2，这样每个n >= 1 都成立：

C1 <= (1 / 2) + (1 / 2n) <= C2

C1 = 1/2 的一个不错的选择（但任何小于该值的严格正值也是有效的，例如 C1 = 0.1）。

C2 = 1 是一个不错的选择（但任何大于该值的值也是有效的）。 C2 = 1 的值很好，因为表达式1 / 2 + 1 / 2n 随着n 变大而减小，因此它的最大值是n = 1。

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最后一点：上面显示了一些常量C1 和C2，当n >= 1 时，不等式总是成立。如果更方便，我们可以关注从另一个常量值开始的n 的值（而不是1，例如n >= 10000）。重要的是有一些常数 C1 和 C2 以便当 n 足够大时两个不等式都成立。

Answer 2

请记住，这是关于渐近行为。

我们可以将其视为玩游戏：您的目标是证明某个界限成立。游戏是这样进行的：首先，您可以选择常量C1 和C2。然后我可以选择一个任意的n。如果我能以违反不等式的方式做到这一点，你就输了（界限不成立）。如果我无法做到这一点，即使您不再被允许更改您选择的C1 和C2，您也赢了（界限是正确的）。

现在让我们看看有问题的等式：

C1

由于n 是一个整数（最后，它表示数组中元素的数量），因此有一个确定的最小值：n = 1。让我们将其替换为：

(1 / 2) + (1 / 2) = 1

好的，现在开始。让我们看看当我将n 变大时会发生什么...注意n 只出现在分母中。所以我不能把你的界限弄得乱七八糟。对您来说最糟糕的情况实际上是 small 值为n。随着n 的值越大，产品的第二部分变得越小并最终消失。对于限制n->inf，我们得到：

lim n->inf (1 / 2) + (1 / 2n)

(1 / 2) + lim n->inf (1 / 2n) = (1 / 2) + 0 = 1 / 2

所以这告诉我们的是，无论我选择 n 的哪个值，结果值将始终在 1/2 到 1 的范围内（因为等式在 n 中是线性的这两个样本足以证明这一点；对于更复杂的方程，建立边界通常需要更多的工作。

有了这些知识，你能以我永远无法赢得比赛的方式选择C1和C2吗？

Answer 3

我遵循的一般方法是首先检查标准复杂度值。喜欢 2^(2^n) > n! > 4^n > 2^n > n^2 > nlogn > log(n!) > n > sqrt(n) > (logn)^2 > logn > loglogn > 1

这种方式只是插件n^2 现在如果它满足然后考虑小于那个值。这样你就可以得到紧密的约束。如果它不满足，请选择更高的值。这在很多情况下都有帮助。