数组：找到最小交换次数以使数组的双调性最小？

Question

假设给定一个整数数组。所有相邻的元素都保证是不同的。让我们使用以下关系将这个数组 a 的 bitonicity 定义为 bt：

bt_array[i] = 0, if i == 0;
            = bt_array[i-1] + 1, if a[i] > a[i-1]
            = bt_array[i-1] - 1, if a[i] < a[i-1]
            = bt_array[i-1], if a[i] == a[i-1]

bt = last item in bt_array

我们说一个数组的双调性是最小，当它的双调性为0时，如果它有奇数个元素，或者它的双调性是+1或-1，如果它有偶数个元素.

问题是要设计一种算法来找到最少的交换次数，以使任何数组的双调性最小。该算法的时间复杂度最差应该是 O(n)，n 是数组中元素的数量。

例如，假设a = {34,8,10,3,2,80,30,33,1}

它的初始bt 是-2。最小值为 0。这可以通过 1 次交换来实现，即交换 2 和 3。所以输出应该是 1。

这里有一些测试用例：

测试用例 1：a = {34,8,10,3,2,80,30,33,1}，最小交换次数 = 1（交换 2 和 3）

测试用例 2：{1,2,3,4,5,6,7}：min swaps = 2（将 7 与 4 交换，将 6 与 5 交换）

测试用例 3：{10,3,15,7,9,11}：min swaps = 0。bt = 1。

还有一些：

{2,5,7,9,5,7,1}：当前bt = 2。交换 5 和 7：minSwaps = 1

{1,7,8,9,10,13,11}：当前bt = 4：交换 1,8：minSwaps = 1

{13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1}：当前bt = -12：交换 (1,6),(2,5 ) 和 (3,4) : minSwaps = 3

---

我在一次采访中被问到这个问题，这是我想出的：

1. Sort the given array.
2. Reverse the array from n/2 to n-1.
3. Compare from the original array how many elements changed their position. 
   Return half of it.

还有我的一些代码：

int returnMinSwaps(int[] a){
    int[] a = {1,2,3,4,5,6,7};
    int[] b = a;
    Arrays.sort(b);
    for(int i=0; i<= b.length/2 - 1; i++){
        swap(b[b.length - i], b[b.length/2 - i]);
    }
    int minSwaps = 0;
    for(int i=0;i<b.length;i++){
        if(a[i] != b[i])
            minSwaps++;
    }
    return minSwaps/2;
}

不幸的是，对于使用此逻辑的某些测试用例，我没有得到正确的最小方法数。另外，我正在对O(n log n) 中的数组进行排序，并且需要在O(n) 中完成。

Answer 1

紧急更新：T3 不成立！

考虑 α = [0, 7, 8, 3, 4, 10, 1, 6, 9, 2, 5]。没有 S_ij(α) 可以将 |B(α)| 降低 2 以上。

正在考虑修改方法……

警告

此解决方案仅在没有相等的数组元素时才有效。

通过编辑答案随意提出概括。

如果您想跳过无聊的部分，请直接进入结论。

简介

让我们在数组 a 上定义交换运算符 S_ij：

S_ij(a) : [… a_i, … a_j, …] → [… a_j, … a_i, …] ∀i, j ∈ [0; |a|) ∩ ℤ : i ≠ j

我们也将双调性称为B(a)，并更正式地定义它：

显而易见的事实：

1. 交换是对称的：

   S_ij(a) = S_ji(a)

2. 如果它们的目标位置不相交，则两个交换是独立的：

   S_ij(S_kl(a)) = S_kl(S_ij( a)) ∀i, j, k, l : {i, j} ∩ {k, l} = ∅

3. 两个依赖 2 的交换相互撤消：

   S_ij(S_ij(a)) = a

4. 两个依赖于 1 的掉期遵守以下规定：

   S_jk(S_ij(a)) = S_ij(S_ik( a)) = S_ik(S_jk(a))

5. 对于同样大小的数组，双调性差异始终是均匀的：

   (B(a) – B(a')) mod 2 = 0 ∀a, a' : |a| = |a'|

   当然，∀i : 0 ,

   B([a_i–1, a_i]) – B([a'_i–1, a '_i]) = sgn(a_i – a_i–1) – sgn(a'_i – a'_i–1),

   可以是 1 – 1 = 0，或 1 – –1 = 2，或 –1 – 1 = –2，或 –1 – –1 = 0，以及任意数量的 ±2`s 和 0` s 相加得出一个偶数的结果。

   注意：只有当 a 中的所有元素彼此不同时才成立，a' 也是如此！

定理

[T1] |B(S_ij(a)) – B(a)| ≤ 4 ∀a, S_ij(a)

不失一般性，我们假设：

• 0
• j – i ≥ 2
• a_i–1i+1
• a_j–1j+1

根据 a_i，可能有 3 种情况：

1. a_i–1i i+1: sgn(a_i – a_i–1) + sgn(a_i+1 – a_i) = 1 + 1 = 2
2. a_ii–1 i+1: sgn(a_i – a_i–1) + sgn(a_i+1 – a_i) = –1 + 1 = 0
3. a_i–1i+1 i: sgn(a_i – a_i–1) + sgn(a_i+1 – a_i) = 1 + –1 = 0

当改变 a_i 并保持 a 的所有其他元素不变时，|B(a') – B(a )| ≤ 2（其中 a' 是结果数组，上述 3 种情况也适用），因为 B(a) 的其他项没有改变它们值，除了来自 a_i 的 1 邻域的那两个。

S_ij(a) 表示上述情况发生两次，一次为 a_i a_j 一次。

因此，|B(S_ij(a)) – B(a)| ≤ 2 + 2 = 4.

类似地，对于每个角，j – i = 1 的最大值。可能的 delta 为 2，即 ≤ 4。

最后，这直接推断为 a_i-1 > a_i+1 和 a_j-1 > a_j+1.

QED

[T2]   ∀a : |B(a)| ≥ 2 ∃S_ij(a) : |B(S_ij(a))| = |B(a)| – 2

{证明进行中，需要睡觉}

[T3]   ∀a : |B(a)| ≥ 4 ∃S_ij(a) : |B(S_ij(a))| = |B(a)| – 4

{证明进行中，需要睡觉}

结论

从 T1、T2 和 T3，最小化所需的交换次数 |B(a)|强>等于：

⌊|B(a)| / 4⌋ + ß,

其中 ß 等于 1 如果 |B(a)| mod 4 ≥ 2，否则为 0。