两个布尔表达式的相等性

Question

我有两个布尔表达式：

¬aΛ¬b V ¬aΛ¬c V aΛ¬bΛ¬c #1

¬aΛ¬b V ¬aΛ¬c V ¬bΛ¬c #2

我知道它们是相同的，因为它们的真值表是相同的。我的问题是，我怎样才能使它们在表达上相等。

您可能会注意到它们之间的唯一区别是 #1 在它的最后一个 OR 术语中有一个额外的“a”。各种试图去除多余“a”的因式分解方法均未成功。

Answer 1

我不知道你所说的“表达方式”到底是什么意思，但是如果你根据 a 是真还是假来分解它们，就会很容易看出。

如果 a 为真（前两项在 Eq1 和 Eq2 中均为假）：
Eq1 => ~b & ~c
Eq2 => ~b & ~c

如果 a 为假：
Eq1 => ~b | ~c
Eq2 => ~b | ~c | (~b & ~c) == Eq1

编辑： 您可以使用布尔标识更正式地提出同样的论点：

(~a & ~b | ~a & ~c | ~b & ~c) == ((~a & ~b) | (~a & ~c) | (~b & ~c)) & (a | ~a)

因为(a | ~a) == 1和x & 1 = x

然后使用& 在| 上的分布：

== (((~a & ~b) | (~a & ~c) | (~b & ~c)) & a) | (((~a & ~b) | (~a & ~c) | (~b & ~c)) & ~a)

现在您在主要的 | 两侧都有每个“案例”作为附加事实。再次应用分发会将这个事实推到内部案例中，并最终做出与我在上面所做的相同的取消。只看左侧的第一个分布：

((~a & ~b) | x) & a) == (a & ~a & b) | (a & x) == 0 | (a & x) == a & x

其中 x 是另外两个 or 表达式。遵循此策略将为您提供与上述相同的答案。如果你卡住了，我可以带你走得更远，但你应该可以从这里走。

Answer 2

一般来说，您需要将表达式转换为disjunctive normal form。为此，您对基本连词进行析取：为真值表中的每个 1 写出所有变量或其反转的对应连词，然后对所有这些连词进行析取。合取范式也存在，但使用较少。

对于许多变量的表达式，析取范式变得非常大。在这种情况下，您可能想要使用最小化算法（例如Quine-McCluskey algorithm），但这非常复杂且计算量很大（最小化问题是NP-hard，并且这些算法的运行时间通常比仅计算真值表更糟糕)。

如果您只需要一个通用表示来比较相同变量的任何布尔表达式，您也可以比较这些表达式的真值表：

• 按字典顺序表示每个可能的变量组合的表达式值字符串（零或一），
• 或作为表达式为真的真值表行数的排序列表。行按变量的字典顺序编号。