使用 scipy.integrate 积分向量场（一个 numpy 数组）

Question

我有兴趣使用 scipy.integrate 库为给定的初始点集成矢量场（即找到流线）。由于向量场是在计算网格上定义的numpy.ndarray 对象，因此必须对网格点之间的值进行插值。有没有集成商处理这个问题？也就是说，如果我要尝试以下操作

import numpy as np
import scipy.integrate as sc
vx = np.random.randn(10,10)
vy = np.random.randn(10,10)
def f(x,t):
    return [vx[x[0],x[1]], vy[x[0],x[1]]] # which obviously does not work if x[i] is a float
p0 = (0.5,0.5)
dt = 0.1
t0 = 0
t1 = 1
t = np.arange(t0,t1+dt,dt)
sc.odeint(f,p0,t)

编辑：

我需要返回周围网格点向量场的插值：

def f(x,t):
    im1 = int(np.floor(x[0]))
    ip1 = int(np.ceil(x[1]))
    jm1 = int(np.floor(x[0]))
    jp1 = int(np.ceil(x[1]))
    if (im1 == ip1) and (jm1 == jp1):
        return [vx[x[0],x[1]], vy[x[0],x[1]]]
    else:
        points = (im1,jm1),(ip1,jm1),(im1,jp1),(ip1,jp1)
        values_x = vx[im1,jm1],vx[ip1,jm1],vx[im1,jp1],vx[ip1,jp1]
        values_y = vy[im1,jm1],vy[ip1,jm1],vy[im1,jp1],vy[ip1,jp1]
        return interpolated_values(points,values_x,values_y) # how ?

最后一个 return 语句只是一些伪代码。但这基本上是我正在寻找的。

编辑：

scipy.interpolate.griddata 函数似乎是要走的路。是否可以将其合并到它自己的功能中？这句话中的一些东西：

    def f(x,t):
        return [scipy.interpolate.griddata(x,vx),scipy.interpolate.griddata(x,vy)]

Answer 1

我打算建议 matplotlib.pyplot.streamplot 从 1.5.0 版本开始支持关键字参数 start_points，但它不实用而且非常不准确。

您的代码示例让我有点困惑：如果您有 vx、vy 向量场坐标，那么您应该有 两个 网格：x 和 y。使用这些，您确实可以使用scipy.interpolate.griddata 来获得平滑的向量场以进行积分，但是当我尝试这样做时，这似乎占用了太多内存。这是基于scipy.interpolate.interp2d的类似解决方案：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.interpolate as interp
import scipy.integrate as integrate

#dummy input from the streamplot demo
y, x = np.mgrid[-3:3:100j, -3:3:100j]
vx = -1 - x**2 + y
vy = 1 + x - y**2

#dfun = lambda x,y: [interp.griddata((x,y),vx,np.array([[x,y]])), interp.griddata((x,y),vy,np.array([[x,y]]))]
dfunx = interp.interp2d(x[:],y[:],vx[:])
dfuny = interp.interp2d(x[:],y[:],vy[:])
dfun = lambda xy,t: [dfunx(xy[0],xy[1])[0], dfuny(xy[0],xy[1])[0]]

p0 = (0.5,0.5)
dt = 0.01
t0 = 0
t1 = 1
t = np.arange(t0,t1+dt,dt)

streamline=integrate.odeint(dfun,p0,t)

#plot it
plt.figure()
plt.plot(streamline[:,0],streamline[:,1])
plt.axis('equal')
mymask = (streamline[:,0].min()*0.9<=x) & (x<=streamline[:,0].max()*1.1) & (streamline[:,1].min()*0.9<=y) & (y<=streamline[:,1].max()*1.1)
plt.quiver(x[mymask],y[mymask],vx[mymask],vy[mymask])
plt.show()

请注意，我使集成网格更加密集以提高精度，但在这种情况下并没有太大变化。

结果：

更新

在 cmets 中做了一些笔记后，我重新审视了我原来的基于 griddata 的方法。这样做的原因是 interp2d 计算整个数据网格的插值，griddata 只计算给定点的插值，所以在几个点的情况下后者应该快得多。

我在之前的 griddata 尝试中修复了错误并提出了

xyarr = np.array(zip(x.flatten(),y.flatten()))
dfun = lambda p,t: [interp.griddata(xyarr,vx.flatten(),np.array([p]))[0], interp.griddata(xyarr,vy.flatten(),np.array([p]))[0]]

与odeint 兼容。它计算odeint 给它的每个p 点的插值。此解决方案不会消耗过多的内存，但是使用上述参数运行需要更多更长的时间。这可能是由于在odeint 中对dfun 进行了很多评估，远远超过作为输入的 100 个时间点所得出的结果。

但是，尽管这两种方法都使用了默认的 linear 插值方法，但得到的流线比使用 interp2d 获得的流线平滑得多：

Answer 2

如果有人有该领域的表达，我使用了一个简明版本的 Andras 答案，没有掩码和向量：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import ode

vx = lambda x,y: -1 - x**2 + y
vy = lambda x,y: 1 + x - y**2

y0, x0 = 0.5, 0.6

def f(x, y):
    return vy(x,y)/vx(x,y)

r = ode(f).set_integrator('vode', method='adams')
r.set_initial_value(y0, x0)

xf =  1.0
dx = -0.001

x, y = [x0,], [y0,]
while r.successful() and r.t <= xf:
    r.integrate(r.t + dx)
    x.append(r.t + dx)
    y.append(r.y[0])

#plot it
plt.figure()
plt.plot(x, y)
plt.axis('equal')
plt.show()

我希望它对有相同需求的人有用。