R：为什么多元法线密度之和不等于1

Question

library(mvtnorm)
sigma <- matrix(c(4,2,2,3), ncol=2)
x <- rmvnorm(n=500, mean=c(1,2), sigma=sigma)
> sum(dmvnorm(x, mean = c(1,2), sigma = sigma))
[1] 14.07509

我正在使用rmvnorm 模拟具有平均向量1 2 和方差sigma 的二元法线的500 次绘制。

然后我使用dvmnorm 来获得密度并对所有抽签求和。但是，总和 > 1。总和应该是 1 吗？有没有办法让密度总和为 1？

Answer 1

密度下的面积始终为 1。因此，下面的总和为 1，其中我们在分布的平均值附近取面积为 0.01 的平方，将每个正方形上方的体积近似为密度乘以正方形的底。

x=seq(-19, 11, by=.1) #a region of 
y=seq(-18,22,by=.1)
s=0
for (i in 1:length(x)) {
  for (j in 1:length(y)) {
    s=s+dmvnorm(c(x[i], y[j]), mean = c(1,2), sigma = sigma)*.01
  }
}
s
0.9999997

从多元正态密度随机抽取、评估每个点的 pdf 并求和为 1 之间没有明确的关系。