单个连续随机变量位于区间内的概率 [55,100]

Question

我被要求找出一个学生通过考试的概率（如果分数是 55 ≤ X ≤ 100，他会这样做）并被赋予密度函数（见图：

我已经定义了我的限制并集成了密度函数，这可以在 R 中的以下代码块中看到

f1 <- function(x){
     -(x/100)+(4*0.5/5)+(1/5)
}
integrate(f1,(80*p-25),(80*p+20))

我在定义 f1 时插入了 0.5 而不是 p。如果学生没有做好充分准备，我会得到 27.76% 的答案 (p=0.5)

我怀疑这是否正确，我只使用了 f(x) 的第二个表达式而没有考虑第一个表达式，当我在在线积分计算器中输入解时，我得到的值要低得多。另外，我不确定限制的表达式 a 和 b 是否定义正确。我想我想知道如何从具有多个表达式的密度函数中导出概率以及如何处理这些限制。

Answer 1

如下图所示：

p <- function(x, p = 0.5){
  i <- (80*p) < x & x <= (80*p + 10)
  j <- (80*p + 10) < x & x <= (80*p + 20)
  (x/100 - 4*p/5)^i * (-x/100 + 4*p/5 + 1/5)^j * 0^(1-i-j)
}

integrate(p, 55, 100)
0.1249993 with absolute error < 5.4e-05

您还可以将p 定义为：

p1 <- function(x, p = 0.5){
  i <- (80*p) < x & x <= (80*p + 10)
  j <- (80*p + 10) < x & x <= (80*p + 20)
  (x/100 - 4*p/5) * i + (-x/100 + 4*p/5 + 1/5) * j + 0 * (1-i-j)
}

integrate(p1, 55, 100)
0.1249993 with absolute error < 5.4e-05

Answer 2

密度函数有点粗糙，但您可以通过首先定义一个向量 x（其范围从 0 到 100）来轻松解决它，然后根据 x 和 p 有条件地计算得分。

只需将分数默认设置为0，并将某些条件适用的值替换为作业中给出的函数即可：

x = seq(0,100,.1)

p = 0.5

score = rep(0,length(x))
score[80*p<x & x <= (80*p+10)]=x[80*p<x & x <= (80*p+10)]/100-4*p/5
score[(80*p + 10)<x & x <= (80*p+20)]=-x[(80*p + 10)<x & x <= (80*p+20)]/100+4*p/5+1/5

您现在有了一个可以绘制的密度函数：

plot(x,score,type="l")

得分为 55 分或更高的概率是 55 分之后的曲线下面积除以曲线下面积的总数。幸运的是，曲线下的面积可以通过将这些值相加得到：

prob55 = sum(score[x>=55])/sum(score)
prob55

在这种情况下，结果是 12.5%

Answer 3

虽然Onyambu的解决方案是正确的，但我认为最好写成如下：

f <- function(x,p = 0.5){
  dplyr::case_when(
    #         Condition        --------      Function
    (80*p) < x      & x <= (80*p + 10) ~ x/100 - 4*p/5,
    (80*p + 10) < x & x <= (80*p + 20) ~ -x/100 + 4*p/5 + 1/5,
    TRUE                               ~ 0
  )
}

原因是：

• 更容易阅读
• 不要求读者了解强制的工作原理。
• 更具可扩展性：不会随着区域数量的增加而变得更糟。