在恒定时间内更新连续数字序列的平均值

Question

如何在不必遍历整个列表的情况下平均加减数字？

这在许多情况下都非常有用。例如，连续计算流中最后 X 个值的平均值，将两个平均值相加，并根据新用户投票更新评分。

Answer 1

确实有可能在恒定时间 O(1) 内以平均值操作单个值。

以下函数将一个数字添加到平均值中。 average 是当前平均值，size 是当前平均值中的值数，value 是要添加到平均值中的数字：

double addToAverage(double average, int size, double value)
{
    return (size * average + value) / (size + 1);
}

同样，以下函数从平均值中删除一个数字：

double subtractFromAverage(double average, int size, double value)
{
    // if (size == 1) return 0;       // wrong but then adding a value "works"
    // if (size == 1) return NAN;     // mathematically proper
    // assert(size > 1);              // debug-mode check
    // if(size < 2) throw(...)        // always check
    return (size * average - value) / (size - 1);
}

您可能会考虑返回 0 作为一组大小为 0 的平均值，这样添加一个值就会将该值作为平均值。但是，如果您想将集合减小到 0 大小视为错误，则返回 NAN 会将其传播到将来的使用中，使其更加可见。但是请参阅What is the arithmetic mean of an empty sequence? - 您可能只想当场大声报告错误，或者抛出 C++ 异常（不只是引发 FP 异常），如果这是一个错误的话。

如果你没有特殊情况，你可能会从x / 0. 和非零x 中得到 + 或 -Inf，除非你删除的值正好等于当前平均值；然后你会得到0. / 0. => NaN。

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您还可以组合这些功能来轻松替换数字。如果您要计算数组/流中最后 X 个数字的平均值，这将非常方便。

double replaceInAverage(double average, int size, double oldValue, double newValue)
{
    return (size * average - oldvalue + newValue) / size;
}

也可以在恒定时间内计算两个平均值的总平均值：

double addAveragesTogether(double averageA, int sizeA, double averageB, int sizeB)
{
    return (sizeA * averageA + sizeB * averageB) / (sizeA + sizeB);
}

Answer 2

已经提到的典型方式是：

( n * a + v ) / (n + 1);

n 是我们的旧计数，a 是我们的旧平均值，v 是我们的新值。

但是，n * a 部分最终会溢出，因为n 变得更大，尤其是在a 本身很大的情况下。为避免这种使用：

a + ( v - a ) / (n + 1)

随着n 的增加，我们确实会损失一些精度 - 自然，我们正在将a 修改为连续更小的数量。批处理值可以缓解问题，但对于大多数任务来说可能是多余的。