填充对称矩阵并以最快的方式找到表达式

Question

我有一个n x n 对称矩阵G，其(i,j)th 元素是g(h(i),h(j))，其中g(i,j) = g(j,i) 和g(i,i) 对于所有i 都是常数。这里g 采用实线值。在我的例子中，g 是高斯核。

我尝试输入矩阵如下。

h = 0.01
operator = function(x,y){
  return(dnorm((x-y)/h))
}

a = 1; b = 0.5; n = 20000
x = seq(1,n,1)
vec = a*x + b*x^2 #example of h(x)
G = outer(vec, vec, FUN = operator)

但是，我在这里计算矩阵的所有条目，这不是必需的。只有下三角矩阵和对角线的一个元素就足够了。我能做些什么来实现它？ （我认为使用ifelse 会使代码变慢。）

然后我想对两个n x 1 向量a 和b 执行以下操作

a = rnorm(n); b = rcauchy(n)
s = rowSums(G)
sum(((a/s) * (G %*% (b/a)))^2)

我知道在parallel 中使用多核可以让代码更快。但我不知道如何在我的设置中使用它。任何建议将不胜感激。

注意评论区有一些建议。当然，这些使代码更快，因此我非常感谢这些。但我正在寻找一种方法，如果可能的话，可以让整段代码更快。

Answer 1

抱歉，您的期望似乎很不切实际。 要计算 20k*20k 矩阵下部，我们需要计算 (n*n-n)/2 = 199990000 个值。 但是，

system.time(dnorm((x-y)/h)) # 12.47 

在我的系统上，这种长度随机向量的最简单计算大约需要 12 sek。 但是我们仍然需要创建大型对称矩阵。所以我看不出这是如何在 ~0.005 秒内计算出来的（使用 R）。

根据我目前的测试，您的方法似乎是 R 中最快的方法。