如何计算 2^n 模 1000000007 , n = 10^9

Question

最快的计算方法是什么，我看到一些人使用矩阵，当我在互联网上搜索时，他们谈到了特征值和特征向量（不知道这些东西）......有一个问题减少了到一个递归方程 f(n) = (2*f(n-1)) + 2 和 f(1) = 1， n 最高可达 10^9.... 我已经尝试过使用 DP，最多存储 1000000 个值并使用常见的快速求幂方法，它都超时了 我在这些模数问题上通常很弱，需要计算很大的值

Answer 1

f(n) = (2*f(n-1)) + 2 with f(1)=1

等价于

(f(n)+2) = 2 * (f(n-1)+2)
         = ...
         = 2^(n-1) * (f(1)+2) = 3 * 2^(n-1)

这样终于

f(n) = 3 * 2^(n-1) - 2

然后您可以在其中应用快速模块化电源方法。

Answer 2

平方乘法的模幂运算：

function powerMod(b, e, m)
    x := 1
    while e > 0
        if e%2 == 1
            x, e := (x*b)%m, e-1
        else b, e := (b*b)%m, e//2
    return x

Answer 3

计算2^n的C代码

    const int mod = 1e9+7;

    //Here base is assumed to be 2
    int cal_pow(int x){
        int res;
        if (x == 0) res=1;
        else if (x == 1)    res=2;
        else {
            res = cal_pow(x/2);
            if (x % 2 == 0) 
                res = (res * res) % mod;
            else
                res = (((res*res) % mod) * 2) % mod;
        }
        return res;
    }