在 ODE 系统中添加 if then 语句来条件初始值；解解

Question

我正在尝试添加一个 if then 语句来调节我的状态变量之一的初始值，并且正在使用 deSolve。本质上，我想在模拟开始后引入第 3 个 ODE（在本例中是第 3 个物种）。

以下是没有条件的代码：

Antia_3sp_Model <- function(t,y,p1){
  # Parms
  ri <- p1[1]; rj <- p1[2]; k <- p1[3]; p <- p1[4]; o <- p1[5] 
  # State vars
  Pi <- y[1]; Pj <- y[2]; I <- y[3]
  # ODEs
  dPi = ri*Pi - k*Pi*I
  dPj = rj*Pj - k*Pj*I
  dI = p*I*(Pi/(Pi + o) + Pj/(Pj + o))
  list(c(dPi,dPj,dI))
}
# Parm vals
ri <- 0.3; rj <- 0.2; k <- 0.001; p <- 1; o <- 1000 # Note that r can range btw 0.1 and 10 in this model
parms <- c(ri,rj,k,p,o)
# Inits
Pi0 <- 1; Pj0 <- 1; I0 <- 1
N0 <- c(Pi0,Pj0,I0)
# Time pt. sol'ns
TT <- seq(0.1,200,0.1)
# Sim
results <- lsoda(N0,TT,Antia_3sp_Model,parms,verbose = TRUE)

这是我到目前为止所拥有的，在尝试添加 if then 语句之后，说在 time = 50 之前，第三个状态变量的初始值将为 0，并且在 time = 50 或以上时，初始值第三个状态变量的值为 1。

Antia_3sp_Model <- function(t,y,p1){
  # Parms
  ri <- p1[1]; rj <- p1[2]; k <- p1[3]; p <- p1[4]; o <- p1[5] 
  # State vars
  Pi <- y[1]; Pj <- y[2]; I <- y[3]
  
  if (t[i] < t[50]){
    Pj0 = 0
  }
  else if (t[i] >= t[50]){
    Pj0 = 1
  }
  
  # ODEs
  dPi = ri*Pi - k*Pi*I
  dPj = rj*Pj - k*Pj*I 
  dI = p*I*(Pi/(Pi + o) + Pj/(Pj + o))
  list(c(dPi,dPj,dI))
}
# Parm vals
ri <- 0.3; rj <- 0.2; k <- 0.001; p <- 1; o <- 1000 # Note that r can range btw 0.1 and 10 in this model
parms <- c(ri,rj,k,p,o)
# Inits
Pi0 <- 1; Pj0 <- 1; I0 <- 1
N0 <- c(Pi0,Pj0,I0)
# Time pt. sol'ns
TT <- seq(0.1,200,0.1)
# Sim
results <- lsoda(N0,TT,Antia_3sp_Model,parms,verbose = TRUE)

有什么建议吗？

如果我应该添加任何其他信息，请告诉我，非常感谢您的阅读！ :)

Answer 1

对我来说，“第 3 个状态变量的初始值”应为 1 且 t >= 50 的语句的含义并不完全清楚。初始值定义状态变量的开始，然后由微分方程演化。在下文中，我展示了以下方法：

1. 状态变量 Pj 初始化为 t = 50 处的给定值。这可以通过事件来处理。
2. 状态变量 Pj 在 t >= 50 接收额外的外部输入。这可以通过外部信号进行处理，也称为强制函数。

第一个示例显示了事件机制，实现为数据帧eventdat。它也可以通过事件函数以更灵活的形式实现。

在这里，我将 t=50 时的“初始”状态值增加到 100，以使效果更加明显。对时间向量TT 进行舍入以避免出现警告（如果您想知道原因，请询问）。

library("deSolve")

Antia_3sp_Model <- function(t, y, p1){
  # Parms
  ri <- p1[1]; rj <- p1[2]; k <- p1[3]; p <- p1[4]; o <- p1[5]
  # State vars
  Pi <- y[1]; Pj <- y[2]; I <- y[3]

  # ODEs
  dPi <- ri*Pi - k*Pi*I
  dPj <- rj*Pj - k*Pj*I
  dI <- p*I*(Pi/(Pi + o) + Pj/(Pj + o))
  list(c(dPi, dPj, dI))
}

parms <- c(ri = 0.3, rj = 0.2, k = 0.001, p = 1, o = 1000)
N0 <- c(Pi = 1, Pj = 1, I = 1)
TT <- round(seq(0.1, 200, 0.1), 1)

## An "initial value" is the value at the beginning. We call the value during
## simulation the "state". If it is meant that the state should be changed at
## a certain point of time, it can be done with an event

# tp: initial value at t=50 set to 100 to improve visibility of effect (was 1)
eventdat <- data.frame(var = "Pj", time = 50, value = 100, method = "rep")

results <- lsoda(N0, TT, Antia_3sp_Model, parms, events=list(data=eventdat), verbose = TRUE)
plot(results, mfcol=c(1, 3))

强制函数可用于实现与时间相关的参数，或将常数值连续添加到状态。还要注意 ODE 模型的紧凑风格。是否使用with 函数是个人喜好问题。两者各有利弊。

但是，使用事件还是强制函数有很大的不同。

Antia_3sp_Model <- function(t, y, p, import){
  with(as.list(c(y, p)), {
    dPi <- ri*Pi - k*Pi*I
    dPj <- rj*Pj - k*Pj*I + import(t)
    dI <- p*I*(Pi/(Pi + o) + Pj/(Pj + o))
    list(c(dPi, dPj, dI))
  })
}

signal <- approxfun(x=c(0, 50, max(TT)), y=c(0, 1, 1), method="constant", rule=2)

results <- lsoda(N0, TT, Antia_3sp_Model, parms, import=signal, verbose = TRUE)
plot(results, mfcol=c(1, 3))