R密度（）函数收敛到delta函数

Question

我对 R density() 函数在边缘情况下的行为有点困惑...

假设我将越来越多的 x=0 点添加到模拟数据集中。我期望的是密度估计会很快收敛（我故意模糊这意味着什么......）到 x = 0 处的 delta 函数。在实践中，拟合肯定会变窄，但速度很慢，如下图所示：

plot(density(c(0,0)), xlim=c(-2,2))
plot(density(c(0,0,0,0)), xlim=c(-2,2))
plot(density(c(rep(0,10000))), xlim=c(-2,2))
plot(density(c(rep(0,10000000))), xlim=c(-2,2))

但如果你在模拟数据中加入一点点噪音，行为会好很多：

plot(density(0.0000001*rnorm(10000000) + c(rep(0,10000000))), xlim=c(-2,2))

就让睡狗躺着？还是我错过了有关密度（）的使用？

Answer 1

根据?bw.nrd0，density 的默认带宽选择器：

bw.nrd0 实现了一个经验法则，用于选择高斯核密度估计器的带宽。它默认为标准偏差最小值的 0.9 倍和四分位距除以样本大小的 1.34 倍负五分之一幂（= Silverman 的“经验法则”，Silverman (1986, page 48, eqn (3.31)）除非四分位数重合，否则肯定会得到肯定的结果。

当您的数据恒定时，四分位数重合，因此保证肯定结果的最后一个条款生效。这基本上意味着选择的带宽不是数据传播的连续函数，为零。

举例说明：

> bw.nrd0(rep(0, 1e6))
[1] 0.05678616
> bw.nrd0(rnorm(1e6, s=1e-6))
[1] 5.672872e-08

Answer 2

实际上（...两腿之间的尾巴...）我现在意识到我的整个问题都被误导了。作为 R 的新手，我立即假设 density() 尝试将不同宽度的高斯拟合到数据点，优化高斯的数量和它们各自的宽度。但实际上它做的事情要简单得多。它只是涂抹了每个数据点，并将涂抹量相加以对数据进行平滑估计。 density() 只是一个简单的平滑算法。所以，是的，RTFM :)