CDF取决于内核密度估计中使用的带宽？

Question

当我更改内核密度估计中的带宽时，我不知道为什么 cdf 具有不同的值。在下面的代码中，我从高斯分布生成随机数，并在选择不同的带宽 (h) 时估计数据的核密度。当我整合 pdf 时，我得到的值或多或少与 1 相差甚远。因此，CDF 似乎取决于内核密度估计中使用的带宽。然而，我相信内核密度估计中的因子 1/nh 可确保 pdf 积分为 1。如果带宽是问题，我如何确定它以确保生成的 pdf 积分为 1？

g<-1
n<-1000
set.seed(g)
df <- data.frame(x=sort(rnorm(n,0,1))) 

library(functional)

gaussianKernel <- function(u) exp(-u^2/2)/(2*pi)^.5

densityFunction <- function(x, df, ker, h){
    difference = t(t(df) - x)/h
    W = sum(apply(difference, 1, ker)) / (nrow(df)*h)
}

myDensityFunction <- Curry(densityFunction, df=df, ker=gaussianKernel, h=2)

vect<-vector()
for (i in 1:length(df$x)){
f<-myDensityFunction(df$x[i])
vect<-c(vect,f)
}

f <- approxfun(df$x, vect, yleft = 0, yright = 0)
integrate(f, -Inf, Inf)

Answer 1

您对带宽的影响是正确的。随着带宽的增加，估计器的偏差增加，而方差减小。计算带宽有一些经验法则。我在下面给出一个，您可以看到，在适当的带宽下，估计的密度曲线接近精确的法线。向量化你的函数会给你一个加速

kernel <- function(u) exp(-u^2/2) / (2*pi)^.5
dens <- Vectorize(function(x, df, ker, h) {
    1/(h*nrow(df)) * sum(ker((df-x)/h))
}, vec="x")

b <- 1.06*(min(1, IQR(df$x)/1.34))*n^(-1/5)  # bandwidth rule-of-thumb
vect <- dens(df$x, df=df, kernel, b)
f <- approxfun(df$x, vect, yleft=0, yright=0)
integrate(f, -Inf, Inf)
# 0.9991092 with absolute error < 0.00012

nvals <- dnorm(df$x)
plot(df$x, nvals)
points(df$x, vect, col="azure3")