使用 DFT 的一维热方程产生不正确的结果 (FFTW)

Question

我正在尝试使用复数到复数 IDFT 求解一维热方程。问题是单个时间步后的输出似乎不正确。我在下面提供了一个简单的示例来说明问题。

我初始化温度状态如下：

频域的初始模式为：
k[ 0] = 12.5 + 0i
k[ 1] = 12.5 + 0i
k[ 2] = 12.5 + 0i
k[ 3] = 12.5 + 0i
k[ 4] = 12.5 + 0i
k[-3] = 12.5 + 0i
k[-2] = 12.5 + 0i
k[-1] = 12.5 + 0i

然后我使用标准一维热方程将频域状态推进到t=0.02：

double alpha = 0.2; // Thermal conductivity constant
double timestep = 0.02;

for (int i = 0; i < N; i++) {
    int k = (i <= N / 2) ? i : i - N;

    F[i][REAL] *= exp(-alpha * k * k * timestep); // Decay the real part
    F[i][IMAG] *= exp(-alpha * k * k * timestep); // Decay the imaginary part
}

t=0.02处的频率模式变为：
k[ 0] = 12.5 + 0i
k[ 1] = 12.45 + 0i
k[ 2] = 12.3 + 0i
k[ 3] = 12.06 + 0i
k[ 4] = 11.73 + 0i
k[-3] = 12.06 + 0i
k[-2] = 12.3 + 0i
k[-1] = 12.45 + 0i

在执行 IDFT 以获取 t=0.02 处的温度域状态后，我得到：

空间域和频域似乎都是正确的周期性。然而，热量（空间域中的值）似乎没有按照高斯曲线消散。更令人惊讶的是，一些温度低于其初始值（它们变为负值！）。

能量守恒似乎是正确的：将所有温度加在一起仍然是 100。

这是我的完整热方程代码：

double alpha = 0.2;     // Thermal conductivity constant
double timestep = 0.02; // Physical heat equation timestep
int N = 8;              // Number of data points

fftw_complex* T = (fftw_complex*)fftw_alloc_complex(N); // Temperature domain
fftw_complex* F = (fftw_complex*)fftw_alloc_complex(N); // Frequency domain

fftw_plan plan = fftw_plan_dft_1d(N, F, T, FFTW_BACKWARD, FFTW_MEASURE); // IDFT from frequency to temperature domain

// Initialize all frequency modes such that there is a peak of 100 at x=0 in the temperature domain
// All other other points in the temperature domain are 0
for (int i = 0; i < N; i++) {
    F[i][REAL] = 100.0 / N;
    F[i][IMAG] = 0.0;
}

// Perform the IDFT to obtain the initial state in the temperature domain
fftw_execute(plan);
printTime1d(T, N);
printFrequencies1d(F, N);

// Perform a single timestep of the heat equation to obtain the frequency domain state at t=0.02
for (int i = 0; i < N; i++) {
    int k = (i <= N / 2) ? i : i - N;

    F[i][REAL] *= exp(-alpha * k * k * timestep); // Decay the real part
    F[i][IMAG] *= exp(-alpha * k * k * timestep); // Decay the imaginary part
}

// Perform the IDFT to obtain the temperature domain state at t=0.02
fftw_execute(plan);
printTime1d(T, N);
printFrequencies1d(F, N);

printTime(...)和printFrequencies(...)的定义是：

void printTime1d(fftw_complex* data, int N) {
    int rounding_factor = pow(10, 2);

    for (int i = 0; i < N; i++) {
        std::cout << std::setw(8) << round(data[i][REAL] * rounding_factor) / rounding_factor;
    }

    std::cout << std::endl;
}

void printFrequencies1d(fftw_complex* data, int N) {
    int rounding_factor = pow(10, 2);

    for (int i = 0; i < N; i++) {
        int k = (i <= N / 2) ? i : i - N;

        double R = round(data[i][REAL] * rounding_factor) / rounding_factor;
        double I = round(data[i][IMAG] * rounding_factor) / rounding_factor;

        std::cout << "k[" << std::setw(2) << k << "]: " << std::setw(2) << R << ((I < 0) ? " - " : " + ") << std::setw(1) << abs(I) << "i" << std::endl;
    }

    std::cout << std::endl;
}

也许值得注意的是，我还使用复杂到真实的 IDFT（使用 fftw 的 fftw_plan_dft_c2r_1d()）进行了这个实验，结果完全相同。

Answer 1

您的问题是您没有解决所需的频率，而是在乘以衰减系数后得到以下函数的傅立叶图像：

上面的结果与你应该得到的结果相差甚远——一个高斯——至少是这样的（使用 80 点而不是 8 点）：

请注意，上面第一张图表中的幅度甚至没有任何机会接近零，而是撞上了奈奎斯特频率。很明显，您会得到类似于吉布斯现象的伪影：这是傅立叶部分和的通常行为。

80点数据版本的傅里叶逆变换如下：

这个结果仍然有负分量（因为我们使用了有限数量的谐波），但它们的幅度远比只有 8 个谐波得到的要小。

请注意，这确实意味着，如果您增加您感兴趣的时间值，您可以减少考虑的谐波数量。起初这可能出乎意料，但这仅仅是因为高次谐波比低次谐波衰减得快得多，而且它们永远不会再增加。