【发布时间】：2019-04-30 07:15:08
【问题描述】：
近一个月来，我一直在与一个非常奇怪的错误作斗争。问你们是我最后的希望。我用 C 语言编写了一个程序，它使用傅里叶（或倒数）空间中的隐式欧拉 (IE) 方案集成了 2d Cahn–Hilliard equation：
“帽子”意味着我们在傅立叶空间中：h_q(t_n+1) 和 h_q(t_n) 是 h(x,y) 在时间 t_n 和 t_(n+1) 的 FT，N[ h_q] 是应用于 h_q 的非线性算子，在傅立叶空间中，L_q 是线性算子，同样在傅立叶空间中。我不想过多介绍我正在使用的数值方法的细节，因为我确信问题不是来自那里（我尝试使用其他方案）。
我的代码其实很简单。这是开始，基本上我在这里声明变量、分配内存并为 FFTW 例程创建计划。
# include <stdlib.h>
# include <stdio.h>
# include <time.h>
# include <math.h>
# include <fftw3.h>
# define pi M_PI
int main(){
// define lattice size and spacing
int Nx = 150; // n of points on x
int Ny = 150; // n of points on y
double dx = 0.5; // bin size on x and y
// define simulation time and time step
long int Nt = 1000; // n of time steps
double dt = 0.5; // time step size
// number of frames to plot (at denominator)
long int nframes = Nt/100;
// define the noise
double rn, drift = 0.05; // punctual drift of h(x)
srand(666); // seed the RNG
// other variables
int i, j, nt; // variables for space and time loops
// declare FFTW3 routine
fftw_plan FT_h_hft; // routine to perform fourier transform
fftw_plan FT_Nonl_Nonlft;
fftw_plan IFT_hft_h; // routine to perform inverse fourier transform
// declare and allocate memory for real variables
double *Linft = fftw_alloc_real(Nx*Ny);
double *Q2 = fftw_alloc_real(Nx*Ny);
double *qx = fftw_alloc_real(Nx);
double *qy = fftw_alloc_real(Ny);
// declare and allocate memory for complex variables
fftw_complex *dh = fftw_alloc_complex(Nx*Ny);
fftw_complex *dhft = fftw_alloc_complex(Nx*Ny);
fftw_complex *Nonl = fftw_alloc_complex(Nx*Ny);
fftw_complex *Nonlft = fftw_alloc_complex(Nx*Ny);
// create the FFTW plans
FT_h_hft = fftw_plan_dft_2d ( Nx, Ny, dh, dhft, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE );
FT_Nonl_Nonlft = fftw_plan_dft_2d ( Nx, Ny, Nonl, Nonlft, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE );
IFT_hft_h = fftw_plan_dft_2d ( Nx, Ny, dhft, dh, FFTW_BACKWARD, FFTW_ESTIMATE );
// open file to store the data
char acstr[160];
FILE *fp;
sprintf(acstr, "CH2d_IE_dt%.2f_dx%.3f_Nt%ld_Nx%d_Ny%d_#f%.ld.dat",dt,dx,Nt,Nx,Ny,Nt/nframes);
在这个序言之后，我用一个均匀的随机噪声初始化我的函数 h(x,y)，并且我还取了它的 FT。我将 h(x,y) 的虚部（代码中的 dh[i*Ny+j][1]）设置为 0，因为它是一个实函数。然后我计算波向量qx 和qy，并用它们计算傅里叶空间中方程的线性算子，即代码中的Linft。我只考虑 h 的 - 四阶导数作为线性项，因此线性项的 FT 只是 -q^4 ......但同样，我不想深入了解我的积分方法的细节。问题不在于它。
// generate h(x,y) at initial time
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
rn = (double) rand()/RAND_MAX; // extract a random number between 0 and 1
dh[i*Ny+j][0] = drift-2.0*drift*rn; // shift of +-drift
dh[i*Ny+j][1] = 0.0;
}
}
// execute plan for the first time
fftw_execute (FT_h_hft);
// calculate wavenumbers
for (i = 0; i < Nx; i++) { qx[i] = 2.0*i*pi/(Nx*dx); }
for (i = 0; i < Ny; i++) { qy[i] = 2.0*i*pi/(Ny*dx); }
for (i = 1; i < Nx/2; i++) { qx[Nx-i] = -qx[i]; }
for (i = 1; i < Ny/2; i++) { qy[Ny-i] = -qy[i]; }
// calculate the FT of the linear operator
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
Q2[i*Ny+j] = qx[i]*qx[i] + qy[j]*qy[j];
Linft[i*Ny+j] = -Q2[i*Ny+j]*Q2[i*Ny+j];
}
}
然后，终于到了时间循环。本质上，我所做的如下：
每隔一段时间，我都会将数据保存到一个文件中，并在终端上打印一些信息。特别是，我打印了非线性项 FT 的最高值。我还检查 h(x,y) 是否发散到无穷大（它不应该发生！），
在直接空间中计算 h^3（即
dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]）。同样，虚部设置为0，取 h^3 的 FT，
通过计算 -q^2*(FT[h^3] - FT[h]) 获得倒数空间中的完整非线性项（即上面写的 IE 算法中的 N[h_q]）。在代码中，我指的是行
Nonlft[i*Ny+j][0] = -Q2[i*Ny+j]*(Nonlft[i*Ny+j][0] -dhft[i*Ny+j][0])和下面的行，用于虚部。我这样做是因为：
- 使用 IE 方法及时推进，在直接空间中变换回来，然后归一化。
代码如下：
for(nt = 0; nt < Nt; nt++) {
if((nt % nframes)== 0) {
printf("%.0f %%\n",((double)nt/(double)Nt)*100);
printf("Nonlft %.15f \n",Nonlft[(Nx/2)*(Ny/2)][0]);
// write data to file
fp = fopen(acstr,"a");
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
fprintf(fp, "%4d %4d %.6f\n", i, j, dh[i*Ny+j][0]);
}
}
fclose(fp);
}
// check if h is going to infinity
if (isnan(dh[1][0])!=0) {
printf("crashed!\n");
return 0;
}
// calculate nonlinear term h^3 in direct space
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
Nonl[i*Ny+j][0] = dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0];
Nonl[i*Ny+j][1] = 0.0;
}
}
// Fourier transform of nonlinear term
fftw_execute (FT_Nonl_Nonlft);
// second derivative in Fourier space is just multiplication by -q^2
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
Nonlft[i*Ny+j][0] = -Q2[i*Ny+j]*(Nonlft[i*Ny+j][0] -dhft[i*Ny+j][0]);
Nonlft[i*Ny+j][1] = -Q2[i*Ny+j]*(Nonlft[i*Ny+j][1] -dhft[i*Ny+j][1]);
}
}
// Implicit Euler scheme in Fourier space
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
dhft[i*Ny+j][0] = (dhft[i*Ny+j][0] + dt*Nonlft[i*Ny+j][0])/(1.0 - dt*Linft[i*Ny+j]);
dhft[i*Ny+j][1] = (dhft[i*Ny+j][1] + dt*Nonlft[i*Ny+j][1])/(1.0 - dt*Linft[i*Ny+j]);
}
}
// transform h back in direct space
fftw_execute (IFT_hft_h);
// normalize
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
dh[i*Ny+j][0] = dh[i*Ny+j][0] / (double) (Nx*Ny);
dh[i*Ny+j][1] = dh[i*Ny+j][1] / (double) (Nx*Ny);
}
}
}
代码的最后一部分：清空内存并销毁 FFTW 计划。
// terminate the FFTW3 plan and free memory
fftw_destroy_plan (FT_h_hft);
fftw_destroy_plan (FT_Nonl_Nonlft);
fftw_destroy_plan (IFT_hft_h);
fftw_cleanup();
fftw_free(dh);
fftw_free(Nonl);
fftw_free(qx);
fftw_free(qy);
fftw_free(Q2);
fftw_free(Linft);
fftw_free(dhft);
fftw_free(Nonlft);
return 0;
}
如果我运行这段代码，我会得到以下输出：
0 %
Nonlft 0.0000000000000000000
1 %
Nonlft -0.0000000000001353512
2 %
Nonlft -0.0000000000000115539
3 %
Nonlft 0.0000000001376379599
...
69 %
Nonlft -12.1987455309071730625
70 %
Nonlft -70.1631962517720353389
71 %
Nonlft -252.4941743351609204637
72 %
Nonlft 347.5067875825179726235
73 %
Nonlft 109.3351142318568633982
74 %
Nonlft 39933.1054502610786585137
crashed!
代码在到达终点之前就崩溃了，我们可以看到非线性项正在发散。
现在，对我来说没有意义的事情是，如果我按以下方式更改计算非线性项的 FT 的行：
// calculate nonlinear term h^3 -h in direct space
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
Nonl[i*Ny+j][0] = dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0]*dh[i*Ny+j][0] -dh[i*Ny+j][0];
Nonl[i*Ny+j][1] = 0.0;
}
}
// Fourier transform of nonlinear term
fftw_execute (FT_Nonl_Nonlft);
// second derivative in Fourier space is just multiplication by -q^2
for ( i = 0; i < Nx; i++ ) {
for ( j = 0; j < Ny; j++ ) {
Nonlft[i*Ny+j][0] = -Q2[i*Ny+j]* Nonlft[i*Ny+j][0];
Nonlft[i*Ny+j][1] = -Q2[i*Ny+j]* Nonlft[i*Ny+j][1];
}
}
这意味着我正在使用这个定义：
而不是这个：
那么代码是完全稳定的，不会发生分歧！即使是数十亿的时间步长！ 为什么会出现这种情况，因为Nonlft 的两种计算方式应该是等价的？
非常感谢愿意花时间阅读所有这些并给我一些帮助的人！
编辑：为了让事情变得更奇怪，我应该指出，这个错误不会发生在同一系统的 1D 中。在 1D 中，两种计算 Nonlft 的方法都是稳定的。
编辑：我添加了一个简短的动画，说明函数 h(x,y) 在崩溃之前会发生什么。另外：我很快在 MATLAB 中重新编写了代码，它使用了基于 FFTW 库的快速傅里叶变换函数，并且错误没有发生……谜团加深了。
【问题讨论】：
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