计算面法线和缠绕

Question

给定一个具有定义顶点 (x, y, z) 的凸多面体，指定多面体的面。

如何计算多面体每个面的表面法线？

我需要表面法线来计算顶点法线来执行Gouraud shading。关于如何做到这一点，我能找到的唯一线索是 Newell 的方法，但我如何确保法线是向外的法线而不是向内的法线？感谢您的帮助。

Answer 1

一种简单的方法是首先通过平均所有顶点来计算多面体的（重）中心 C。由于多面体是凸面的，因此它将位于其内部。 然后对于每个面，通过面的任意两条边的叉积计算法线，然后通过计算法线与 V-C 的点积来确定法线的方向，其中 V 是面上的顶点之一；如果此点积为负，则法线是向内的，因此对法线（的每个组成部分）求反以获得向外的法线。

Answer 2

计算人脸法线

您必须计算跨越包含给定面的平面的两个向量的叉积。它为您提供了该面的（非单位）法线向量。您必须对其进行规范化，然后就完成了。

如果x0、x1、x2是三角形面的顶点，则法线可以计算为

vector3 get_normal(vector3 x0, vector3 x1, vector3 x2)
{
    vector3 v0 = x0 - x2;
    vector3 v1 = x1 - x2;
    vector3 n = cross(v0, v1);

    return normalize(n);
}

请注意，叉积遵循right-hand rule：

右手定则表明向量交叉的方向 产品是通过将 u 和 v 尾对尾放置来确定的， 将右手压扁，向u方向伸展，然后 然后将手指向 v 角度的方向弯曲 与 u。然后拇指指向cross(u, v)的方向。

确定三角形的方向

为确保所有法线都指向多面体的内部/外部，三角形的方向必须一致，这意味着所有顶点必须遵循逆时针 (CCW) 或顺时针 (CW) 顺序。这在计算机图形学中也称为缠绕。

您可以通过计算下面矩阵的行列式来检查三角形的方向，其中x3 是第四个点，即您在测试期间的视点。

| x0.x  x0.y  x0.z  1 |
| x1.x  x1.y  x1.z  1 |
| x2.x  x2.y  x2.z  1 |
| x3.x  x3.y  x3.z  1 |

• 行列式 > 0: x3 位于由 CCW 点 { x0, x1, x2 } 定义的平面的 + 一侧
• 行列式 x3 位于由 CCW 点 { x0, x1, x2 } 定义的平面的 - 一侧
• 行列式 = 0: x3 与 { x0, x1, x2 } 共面

旋转顶点的顺序（通过将所有顶点向左或向右移动）不会改变方向。所以{ x0, x1, x2 } 与{ x2, x0, x1 } 和{ x1, x2, x0 } 具有相同的方向。

但是，如果您交换两个连续元素的顺序，您也会交换到相反的方向。这意味着{ x0, x1, x2 }的方向与{ x1, x0, x2 }相反。

使用这些信息，您可以轻松地确定三角形的方向：使用谓词矩阵测试每个三角形。如果测试失败，只需交换任意两个连续顶点元素的顺序即可解决问题。