是否可以将 2D 噪声函数与合理的导数一起转换为另一个函数？

Question

我有一个噪声函数 NoiseAt(x,y)，它返回一个噪声值和两个导数 dx 和 dy。 我想将此函数转换为另一个噪声函数 OtherNoiseAt(x, y)，它也返回噪声和两个导数。

这是基于此处找到的实现的单纯形噪声： https://github.com/simongeilfus/SimplexNoise/blob/master/include/Simplex.h

例如，对于大于 1 的 x 和 y 值，函数 NoiseAt 应该混合到函数 OtherNoiseAt 中，并在 x 和 y 值大于 2 时完成混合。

我已经尝试过处理噪声和导数，但生成的导数无效。

即。

Lerp(NoiseAt(x, y), OtherNoiseAt(x, y), blending_factor)

（其中当 x 和 y 值都小于 1 时 blending_factor 为 0，而当 x 和 y 值都大于 2 时 blending_factor 为 1）

是否有一种混合方法可以在整个混合过程中保持合理的衍生物？

换句话说，这个函数的主体是什么：

Blend(noise1, dx1, dy1, noise2, dx2, dy2, factor)

Answer 1

您的混合因子也需要是可区分的。

要看到这一点，让我们写出h = Lerp(f, g, a) 的含义：

h = af + (1-a)g

这里的一切都是x和y的函数，包括a本身。使用链式法则求导（为了符号的简单，我忽略了这些东西是二维的事实）：

h' = a'f + af' - a'g + (1-a)g'

所以h' 存在于任何地方，我们需要a' 也存在。但是，您并没有在任何地方使用Lerp，而只是在转换发生的时间间隔内使用。就好像您在将a 传递给Lerp 之前将a 限制在区间[0, 1] 上。从您的帖子中，我了解到a 看起来像这样：

          0 if x < 1 and y < 1
a(x, y) = ? "in between"
          1 if x > 2 and y > 2

这是相当不明确的，所以让我们看一个一维的情况：

       0     if x < 1
a(x) = x - 1 if     1 ≤ x ≤ 2
       1     if             2 < x

这是一个连续函数，但它在 x = 1 和 x = 2 处不可微分，因为斜率突然变化。

有几种替代方案在任何地方都有衍生产品。这些通常在间隔0 ≤ x ≤ 1 上定义，因此您必须在评估函数之前进行一些平移和缩放。构造这些的关键是确保在x = 0 和x = 1 处的导数为零。

例如，余弦形状：

       0               if x < 0
a(x) = 1 - cos(x/pi)/2 if     0 ≤ x ≤ 1
       1               if             1 < x

或者使用三次样条（另见"smoothstep"）：

       0         if x < 0
a(x) = 3x² - 2x³ if     0 ≤ x ≤ 1
       1         if             1 < x