什么是正确的算法......呃，我不知道它叫什么答案

【问题标题】：what is the right algorithm for ... eh, I don't know what it's called什么是正确的算法......呃，我不知道它叫什么
【发布时间】：2013-01-24 23:10:04
【问题描述】：

假设我有一个长且不规则的数字信号，由在不同时间出现（并且相互重叠）的较小但不规则的信号组成。我们将这些较短的信号称为构成较大信号的“片段”。 “不规则”是指它不是特定的频率或模式。

鉴于长信号，我需要找到产生（尽可能接近）较大信号的部件的最佳排列。我知道这些片段是什么样子，但我不知道它们中有多少存在于完整信号中（或者任何一个片段存在于完整信号中的多少次）。你会用什么软件算法来做这个优化？我在网络上搜索什么来获得解决此问题的帮助？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

这是一个尝试。

这实际上是反卷积问题中的更简单。它更容易，因为您可能能够有一个独特的答案。更难的问题是你也不知道这些碎片是什么样子的。这种情况称为盲反卷积。这是一个更难的问题，通常是迭代和统计的（ML 或 MAP），解决方案可能不正确。

幸运的是，您的情况更容易，但仍然不是那么容易，因为您有多个部分：p

我觉得可能就是俗称的混合反卷积吧？

所以让 f[t] for t=1,...N 成为您的长信号。让 h1[t]...hn[t] for t=0,1,2,...M 成为您的短信号。显然这里，N>>M。

所以你的假设是：

(1) f[t] = h1[t+a1[1]]+h1[t+a1[2]] + ...
       +h2[t+a2[1]]+h2[t+a2[2]] + ...
       +....
       +hn[t+an[1]]+h2[t+an[2]] + ...

观察该方程的每一行实际上是 hj * uj，其中 uj 是移位 Kronecker delta 的总和。这里的 * 是卷积。

那么现在呢？

设hj是hj生成的Toeplitz matrix（可能看你怎么看）Toeplitz matrix，那么上面的等式就变成了：

 (2) F = H1 U1 + H2 U2 + ... Hn Un

subject to the constraint that uj[k] must be either 0 or 1.

其中 F 是向量 [f[0],...F[N]]，Uj 是向量 [uj[0],...uj[N]]。

所以你可以把它改写为：

 (3) F = H * U

其中 H = [H1 ... Hn]（水平串联）且 U = [U1; ... ;Un]（垂直串联）。

H 是一个 Nx(nN) 矩阵。 U 是一个 nN 向量。

好的，所以解空间是有限的。它的大小为 2^(nN)。所以你可以尝试所有可能的组合，看看哪一个组合给你的 ||F - H*U|| 最低，但这会花费太长时间。

您可以做的是使用pseudo-inverse、多线性回归（使用最小二乘，结果为伪逆）或类似方法求解方程（3）

然后在 H 的零空间内移动该解，以获得一个受 uj[k] 必须为 0 或 1 的约束的解。

或者，您可以使用 Nelder-Mead 或 Levenberg-Marquardt 之类的东西来找到以下的最小值：

  ||F - H U|| + lambda g(U)

其中 g 是一个正则化函数，定义为：

   g(U) = ||U - U*||

如果|U[j]|

好的，所以我不知道这是否会收敛。如果没有，你必须想出自己的正则化器。当你有一组线性方程时，使用广义非线性优化器有点愚蠢。

实际上，你会有噪音，什么都没有，所以使用 MAP 之类的东西并像以前一样应用小块实际上可能不是一个坏主意。

【讨论】：

感谢您的回复！我有几个问题。 h1[t+a1[1]] 你让我有点失望。似乎 a1 是指f 的（负）偏移量数组？那么如果t + a1[1] 在 h1 中超出范围，它会变成无操作/零？是否需要在 h1 索引器中包含 t ？当您重用 t 作为片段的索引器时，我有点困惑。
@Brannon, hj[t+aj[k]] 只是 hj 在时间上的转换版本。因为这就是 f 的生成方式（根据您的描述）......小块的移位版本的总和。在下一步中，我将 aj 作为脉冲序列取出，并将其表示为 hj*uj，其中 uj 是一系列克罗内克三角洲（可能是稀疏的，但不一定）。需要此步骤才能将您的问题转化为更规范的反卷积...aj[k] 是一个参数，因此您可以将其限制为不超出范围。
@Brannon，t 也是必要的，否则它不会是 hj 的转换版本。