从点开始在矩阵上的螺旋环

Question

我有一个如下所示的 2D 网格，想从 X、Y 开始并保存窗口的角 (W) 和 (OP) 的重叠。我已经尝试过these 代码，但它们都不符合我的目的。

正如演示的那样，我想从一个随机点（黑色单元格）开始，并将每个新窗口的角位置（由黑色圆圈显示）保存在一个螺旋循环中。该算法应该用于任何网格大小（不一定是正方形）和任何起点位置。

Matlab 也有一个函数（螺旋），和我想要的类似，但它不需要网格、窗口大小和重叠（OP）。

我希望这个数字有以下输出：(8,12) (11,12) (11,9) (8,9) (4,9) (4,12) (4,15) ...

我正在使用以下代码，它从一个角落开始，使用定义的 W、OP 和矩阵大小逐步填充矩阵：

W = [10 12];
OP = [4 3];

M = zeros(100,110);

for i=[1:W(1)-OP(1):size(M,1)-W(1), size(M,1)-W(1)+1]
  for j=[1:W(2)-OP(2):size(M,2)-W(2), size(M,2)-W(2)+1]
      block = rand(W(1),W(2));
      M(i:i+W(1)-1, j:j+W(2)-1) = block;
      imagesc(M); axis equal tight xy
      pause(.1)
  end;
end;

所以，以更清晰的方式，我应该如何更改“上方”代码以便从位置（x，y）开始并根据 W、OP 和大小（M）螺旋填充整个矩阵。

谢谢！

Answer 1

基本问题

让数据定义为：

step = 3;  %// step size
x0 = 8;    %// x coordinate of origin
y0 = 12;   %// y coordinate of origin
N = 32;    %// number of steps

那么螺旋的坐标可以作为复平面中的值得到如下^†：

z = x0+1j*y0 + step*cumsum([0 -1j.^(-floor(sqrt(4*(0:N)+1))-1)]);

当然，x和y坐标是那么

x = real(z);
y = imag(z);

使用上面给出的示例值，plot(z,'o-')（或plot(x,y,'o-')）会生成图表

^{† 关键是生成序列1,2,3,3,4,4,5,5,5,6,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8... 我感谢 OEIS for solving that part。该序列原来是 4n+1 的平方根的整数部分，对于 n=1,2,3,...}

如何包含重叠和窗口大小

为了考虑重叠，在Daniel's suggestion 之后，从step 中减去它的值。

考虑窗口大小，N 应该足够大，以使螺旋线到达窗口边界外的某个点；然后只保留前面的点。

由于很难预先计算N 的大小，一种可能的方法是以指数方式 在循环中增加N，直到它足够大。指数增长确保循环迭代的次数会很小。下面的代码使用 2 的幂来表示 N。

%// Data
step = 3;     %// step size
overlap = 1;  %// overlap
x0 = 20;      %// x coordinate of origin
y0 = 15;      %// y coordinate of origin
xmin = 0;     %// window boundary: min x
xmax = 40;    %// window boundary: max x
ymax = 30;    %// window boundary: min y
ymin = 0;     %// window boundary: max y

%// Computations
stepov = step-overlap;
N = 8; %// Initial value. Will be increased as needed
done = false;
while ~done
    z = x0+1j*y0 + stepov*cumsum([0 -1j.^(-floor(sqrt(4*(0:N)+1))-1)]);
        %// compute coordinates of N points
    ind = find(real(z)<xmin | real(z)>xmax | imag(z)<ymin | imag(z)>ymax, 1);
        %// find index of first z out of boundary, if any
    done = ~isempty(ind); %// exit if we have reached outside window boundary
    N = N*2; %// increase number of steps for next try
end
z = z(1:ind-1); %// only keep values that are within the boundary
x = real(z);
y = imag(z);

根据代码中的数据，得到的图形如下。请注意，最后一点是 (38,0)。下一个点是 (38,-2)，它位于窗口边界之外。

Answer 2

这是一段产生预期输出的代码。那里只需要对spiral_generic 进行细微更改即可满足您的要求：

function demo()
spiral_generic([10,11],[3,4])
W = [10 12];
OP = [4 3];
%make sure your start point is really on the grid of r and c, this is not checked!
start = [19,28];
M = zeros(100,110);
r=[1:W(1)-OP(1):size(M,1)-W(1), size(M,1)-W(1)+1];
c=[1:W(2)-OP(2):size(M,2)-W(2), size(M,2)-W(2)+1];
startindex=[find(r==start(1),1,'first'),find(c==start(2),1,'first')];
A=spiral_generic([numel(r),numel(c)],startindex);
[~,idx]=sort(A(:));
[ridx,cidx]=ind2sub(size(A),idx);
%blocks contains the lower left corners in order of processing.
blocks=[r(ridx);c(cidx)];
for blockindex=blocks
       block = rand(W(1),W(2));
       M(blockindex(1):blockindex(1)+W(1)-1, blockindex(2):blockindex(2)+W(2)-1) = block;
       imagesc(M);
       pause(.1)
end

end
function A = spiral_generic(n, P)
% Makes NxN matrix filled up spirally starting with point P
  r = max([P - 1, n - P]);              % Radius of the bigger matrix
  M = spiral(2 * r + 1);                % Bigger matrix itself
  M = permute(M,[2,1]);                 % changing start direction of the spiral
  M = M(:,end:-1:1);                    % chaning spin orientation
  C = r + 1 - (P - 1);                  % Top-left corner of A in M
  A = M(C(1):C(1)+n(1)-1, C(2):C(2)+n(2)-1);  % Get the submatrix
  [~, order] = sort(A(:));              % Get elements' order
  A(order) = 1:(n(1)*n(2));                     % Fill with continous values
end