MATLAB eig 有时会返回倒号

Question

我正在尝试编写一个程序来获取任意大小的矩阵A，然后 SVD 将其分解：

A = U * S * V'

其中A是用户输入的矩阵，U是由A * A'的特征向量组成的正交矩阵，S是奇异值的对角矩阵，V是正交矩阵A' * A 的特征向量。

问题是：MATLAB 函数eig 有时会返回错误的特征向量。

这是我的代码：

function [U,S,V]=badsvd(A)
W=A*A';
[U,S]=eig(W);
max=0;
for i=1:size(W,1) %%sort
    for j=i:size(W,1)
        if(S(j,j)>max)
            max=S(j,j);
            temp_index=j;
        end
    end
    max=0;
    temp=S(temp_index,temp_index);
    S(temp_index,temp_index)=S(i,i);
    S(i,i)=temp;
    temp=U(:,temp_index);
    U(:,temp_index)=U(:,i);
    U(:,i)=temp;
end
W=A'*A;
[V,s]=eig(W);
max=0;
for i=1:size(W,1) %%sort
    for j=i:size(W,1)
        if(s(j,j)>max)
            max=s(j,j);
            temp_index=j;
        end
    end
    max=0;
    temp=s(temp_index,temp_index);
    s(temp_index,temp_index)=s(i,i);
    s(i,i)=temp;
    temp=V(:,temp_index);
    V(:,temp_index)=V(:,i);
    V(:,i)=temp;
end
s=sqrt(s);
end

我的代码返回正确的s 矩阵，以及“几乎”正确的U 和V 矩阵。但是有些列乘以-1。显然如果t 是一个特征向量，那么-t 也是一个特征向量，但是符号倒置（对于某些列，不是全部）我没有得到A = U * S * V'。

有没有办法解决这个问题？

示例：对于矩阵A=[1,2;3,4]，我的函数返回：

U=[0.4046,-0.9145;0.9145,0.4046]

以及内置的 MATLAB svd 函数返回：

u=[-0.4046,-0.9145;-0.9145,0.4046]

Answer 1

请注意，特征向量不是唯一的。乘以任何常数，包括-1（它只是改变符号），得到另一个有效的特征向量。考虑到特征向量的definition，这一点很清楚：

A·v = λ·v

MATLAB chooses 将特征向量归一化为范数为 1.0，符号是任意的：

对于eig(A)，特征向量被缩放，使得每个的范数为 1.0。 对于eig(A,B)、eig(A,'nobalance') 和eig(A,B,flag)，特征向量未归一化

现在你知道，SVD 和特征分解是related。下面是一些代码来测试这个事实。请注意，svd 和 eig 返回结果的顺序不同（一个从高到低排序，另一个反向排序）：

% some random matrix
A = rand(5);

% singular value decomposition
[U,S,V] = svd(A);

% eigenvectors of A'*A are the same as the right-singular vectors
[V2,D2] = eig(A'*A);
[D2,ord] = sort(diag(D2), 'descend');
S2 = diag(sqrt(D2));
V2 = V2(:,ord);

% eigenvectors of A*A' are the same as the left-singular vectors
[U2,D2] = eig(A*A');
[D2,ord] = sort(diag(D2), 'descend');
S3 = diag(sqrt(D2));
U2 = U2(:,ord);

% check results
A
U*S*V'
U2*S2*V2'

我得到非常相似的结果（忽略小的浮点错误）：

>> norm(A - U*S*V')
ans =
   7.5771e-16
>> norm(A - U2*S2*V2')
ans =
   3.2841e-14

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编辑：

为了获得一致的结果，通常采用要求每个特征向量中的第一个元素具有特定符号的约定。这样，如果你得到一个不遵循这个规则的特征向量，你将它乘以-1 来翻转符号...