首先，让我在我的笔记本电脑上显示计时统计信息。我使用了一个 5000 x 5000 矩阵，足以进行基准测试，microbenchmark 包用于 100 次评估。
Unit: milliseconds
expr min lq mean median uq max
colSums(x) 71.40671 71.64510 71.80394 71.72543 71.80773 75.07696
Cpp_colSums(x) 71.29413 71.42409 71.65525 71.48933 71.56241 77.53056
Sugar_colSums(x) 73.05281 73.19658 73.38979 73.25619 73.31406 76.93369
Arma_colSums(x) 39.08791 39.34789 39.57979 39.43080 39.60657 41.70158
rowSums(x) 177.33477 187.37805 187.57976 187.49469 187.73155 194.32120
Cpp_rowSums(x) 54.00498 54.37984 54.70358 54.49165 54.73224 64.16104
Sugar_rowSums(x) 54.17001 54.38420 54.73654 54.56275 54.75695 61.80466
Arma_rowSums(x) 49.54407 49.77677 50.13739 49.90375 50.06791 58.29755
R 核心中的 C 代码并不总是比我们自己编写的更好。 Cpp_rowSums 比 rowSums 快表明了这一点。我觉得自己没有能力解释为什么 R 的版本比它应该的要慢。我将重点关注：我们如何进一步优化我们自己的 colSums 和 rowSums 以击败犰狳。请注意，我编写 C，使用 R 的旧 C 接口并使用 R CMD SHLIB 进行编译。
colSums 和 rowSums 之间有什么实质性区别吗？
如果我们有一个比 CPU 缓存容量大得多的n x n 矩阵，colSums 将n x n 数据从 RAM 加载到缓存，但rowSums 加载两倍，即@987654336 @。
想想保存总和的结果向量：这个长度-n 向量从 RAM 加载到缓存中多少次？对于colSums，它只加载一次，但对于rowSums，它加载n 次。每次向其中添加矩阵列时，它都会被加载到缓存中，但由于它太大而被驱逐。
对于大号n：
-
colSums 导致 n x n + n 数据从 RAM 加载到缓存；
-
rowSums 导致 n x n + n x n 数据从 RAM 加载到缓存。
换句话说，rowSums 在理论上内存效率较低，并且可能更慢。
如何提高colSums的性能？
由于 RAM 和缓存之间的数据流很容易达到最佳状态，因此唯一的改进是循环展开。将内部循环（求和循环）展开 2 的深度就足够了，我们将看到 2 倍的提升。
循环展开是因为它启用了 CPU 的指令流水线。如果我们每次迭代只做一个加法，那么流水线是不可能的；通过两个添加，这种指令级并行性开始起作用。我们也可以将循环展开深度为 4，但我的经验是深度为 2 的展开足以从循环展开中获得大部分好处。
如何提高rowSums的性能？
优化数据流是第一步。我们需要先做缓存阻塞，以减少从2 x n x n到n x n的数据传输。
将此n x n 矩阵切成多个行块：每个块为2040 x n（最后一个块可能更小），然后逐块应用普通的rowSums 块。对于每个块，累加器向量的长度为 2040，大约是 32KB CPU 缓存可以容纳的长度的一半。对于添加到此累加器向量的矩阵列，另一半则相反。这样，累加器向量可以保存在缓存中，直到处理完该块中的所有矩阵列。结果，累加器向量只加载到缓存中一次，因此整体内存性能与colSums一样好。
现在我们可以进一步对每个块中的rowSums 应用循环展开。将外循环和内循环都展开 2 的深度，我们将看到提升。展开外循环后，块大小应减少到 1360，因为现在我们需要缓存中的空间来保存每个外循环迭代的三个长度为 1360 的向量。
C 代码：让我们打败犰狳
使用循环展开编写代码可能是一项令人讨厌的工作，因为我们现在需要为一个函数编写几个不同的版本。
对于colSums，我们需要两个版本：
-
colSums_1x1：内外循环都以深度 1 展开，即这是一个没有循环展开的版本；
-
colSums_2x1: 没有外循环展开，而内循环展开深度为 2。
对于rowSums，我们最多可以有四个版本，rowSums_sxt，其中s = 1 or 2 是内循环的展开深度，t = 1 or 2 是外循环的展开深度。
如果我们一个一个地编写每个版本，代码编写可能会非常乏味。经过多年或对此感到沮丧后，我使用内联模板函数和宏开发了“自动代码/版本生成”技巧。
#include <stdlib.h>
#include <Rinternals.h>
static inline void colSums_template_sx1 (size_t s,
double *A, size_t LDA,
size_t nr, size_t nc,
double *sum) {
size_t nrc = nr % s, i;
double *A_end = A + LDA * nc, a0, a1;
for (; A < A_end; A += LDA) {
a0 = 0.0; a1 = 0.0; // accumulator register variables
if (nrc > 0) a0 = A[0]; // is there a "fractional loop"?
for (i = nrc; i < nr; i += s) { // main loop of depth-s
a0 += A[i]; // 1st iteration
if (s > 1) a1 += A[i + 1]; // 2nd iteration
}
if (s > 1) a0 += a1; // combine two accumulators
*sum++ = a0; // write-back
}
}
#define macro_define_colSums(s, colSums_sx1) \
SEXP colSums_sx1 (SEXP matA) { \
double *A = REAL(matA); \
size_t nrow_A = (size_t)nrows(matA); \
size_t ncol_A = (size_t)ncols(matA); \
SEXP result = PROTECT(allocVector(REALSXP, ncols(matA))); \
double *sum = REAL(result); \
colSums_template_sx1(s, A, nrow_A, nrow_A, ncol_A, sum); \
UNPROTECT(1); \
return result; \
}
macro_define_colSums(1, colSums_1x1)
macro_define_colSums(2, colSums_2x1)
模板函数计算（在 R 语法中）sum <- colSums(A[1:nr, 1:nc]) 的矩阵 A 和 LDA（A 的前导维度）行。参数s 是内循环展开的版本控制。模板函数乍一看很糟糕，因为它包含许多if。但是，它被声明为static inline。如果通过将已知常量 1 或 2 传递给 s 来调用它，则优化编译器能够在编译时评估那些 if，消除无法访问的代码并删除“设置但未使用”的变量（寄存器已初始化、修改但未写回 RAM 的变量）。
宏用于函数声明。接受常量s 和函数名称，它会生成一个具有所需循环展开版本的函数。
以下是rowSums。
static inline void rowSums_template_sxt (size_t s, size_t t,
double *A, size_t LDA,
size_t nr, size_t nc,
double *sum) {
size_t ncr = nc % t, nrr = nr % s, i;
double *A_end = A + LDA * nc, *B;
double a0, a1;
for (i = 0; i < nr; i++) sum[i] = 0.0; // necessary initialization
if (ncr > 0) { // is there a "fractional loop" for the outer loop?
if (nrr > 0) sum[0] += A[0]; // is there a "fractional loop" for the inner loop?
for (i = nrr; i < nr; i += s) { // main inner loop with depth-s
sum[i] += A[i];
if (s > 1) sum[i + 1] += A[i + 1];
}
A += LDA;
}
for (; A < A_end; A += t * LDA) { // main outer loop with depth-t
if (t > 1) B = A + LDA;
if (nrr > 0) { // is there a "fractional loop" for the inner loop?
a0 = A[0]; if (t > 1) a0 += A[LDA];
sum[0] += a0;
}
for(i = nrr; i < nr; i += s) { // main inner loop with depth-s
a0 = A[i]; if (t > 1) a0 += B[i];
sum[i] += a0;
if (s > 1) {
a1 = A[i + 1]; if (t > 1) a1 += B[i + 1];
sum[i + 1] += a1;
}
}
}
}
#define macro_define_rowSums(s, t, rowSums_sxt) \
SEXP rowSums_sxt (SEXP matA, SEXP chunk_size) { \
double *A = REAL(matA); \
size_t nrow_A = (size_t)nrows(matA); \
size_t ncol_A = (size_t)ncols(matA); \
SEXP result = PROTECT(allocVector(REALSXP, nrows(matA))); \
double *sum = REAL(result); \
size_t block_size = (size_t)asInteger(chunk_size); \
size_t i, block_size_i; \
if (block_size > nrow_A) block_size = nrow_A; \
for (i = 0; i < nrow_A; i += block_size_i) { \
block_size_i = nrow_A - i; if (block_size_i > block_size) block_size_i = block_size; \
rowSums_template_sxt(s, t, A, nrow_A, block_size_i, ncol_A, sum); \
A += block_size_i; sum += block_size_i; \
} \
UNPROTECT(1); \
return result; \
}
macro_define_rowSums(1, 1, rowSums_1x1)
macro_define_rowSums(1, 2, rowSums_1x2)
macro_define_rowSums(2, 1, rowSums_2x1)
macro_define_rowSums(2, 2, rowSums_2x2)
请注意，模板函数现在接受s 和t，并且要由宏定义的函数已应用行分块。
尽管我在代码中留下了一些 cmets，但代码可能仍然不容易理解，但我不能花更多时间更详细地解释。
要使用它们，请将它们复制并粘贴到名为“matSums.c”的 C 文件中，然后使用 R CMD SHLIB -c matSums.c 编译它。
对于R端，在“matSums.R”中定义如下函数。
colSums_zheyuan <- function (A, s) {
dyn.load("matSums.so")
if (s == 1) result <- .Call("colSums_1x1", A)
if (s == 2) result <- .Call("colSums_2x1", A)
dyn.unload("matSums.so")
result
}
rowSums_zheyuan <- function (A, chunk.size, s, t) {
dyn.load("matSums.so")
if (s == 1 && t == 1) result <- .Call("rowSums_1x1", A, as.integer(chunk.size))
if (s == 2 && t == 1) result <- .Call("rowSums_2x1", A, as.integer(chunk.size))
if (s == 1 && t == 2) result <- .Call("rowSums_1x2", A, as.integer(chunk.size))
if (s == 2 && t == 2) result <- .Call("rowSums_2x2", A, as.integer(chunk.size))
dyn.unload("matSums.so")
result
}
现在让我们做一个基准测试，再次使用 5000 x 5000 矩阵。
A <- matrix(0, 5000, 5000)
library(microbenchmark)
source("matSums.R")
microbenchmark("col0" = colSums(A),
"col1" = colSums_zheyuan(A, 1),
"col2" = colSums_zheyuan(A, 2),
"row0" = rowSums(A),
"row1" = rowSums_zheyuan(A, nrow(A), 1, 1),
"row2" = rowSums_zheyuan(A, 2040, 1, 1),
"row3" = rowSums_zheyuan(A, 1360, 1, 2),
"row4" = rowSums_zheyuan(A, 1360, 2, 2))
在我的笔记本电脑上，我得到：
Unit: milliseconds
expr min lq mean median uq max neval
col0 65.33908 71.67229 71.87273 71.80829 71.89444 111.84177 100
col1 67.16655 71.84840 72.01871 71.94065 72.05975 77.84291 100
col2 35.05374 38.98260 39.33618 39.09121 39.17615 53.52847 100
row0 159.48096 187.44225 185.53748 187.53091 187.67592 202.84827 100
row1 49.65853 54.78769 54.78313 54.92278 55.08600 60.27789 100
row2 49.42403 54.56469 55.00518 54.74746 55.06866 60.31065 100
row3 37.43314 41.57365 41.58784 41.68814 41.81774 47.12690 100
row4 34.73295 37.20092 38.51019 37.30809 37.44097 99.28327 100
注意循环展开如何加快colSums 和rowSums。并且通过全面优化（“col2”和“row4”），我们击败了犰狳（参见本答案开头的时序表）。
在这种情况下，行分块策略显然不会带来好处。让我们尝试一个包含数百万行的矩阵。
A <- matrix(0, 1e+7, 20)
microbenchmark("row1" = rowSums_zheyuan(A, nrow(A), 1, 1),
"row2" = rowSums_zheyuan(A, 2040, 1, 1),
"row3" = rowSums_zheyuan(A, 1360, 1, 2),
"row4" = rowSums_zheyuan(A, 1360, 2, 2))
我明白了
Unit: milliseconds
expr min lq mean median uq max neval
row1 604.7202 607.0256 617.1687 607.8580 609.1728 720.1790 100
row2 514.7488 515.9874 528.9795 516.5193 521.4870 636.0051 100
row3 412.1884 413.8688 421.0790 414.8640 419.0537 525.7852 100
row4 377.7918 379.1052 390.4230 379.9344 386.4379 476.9614 100
在这种情况下，我们观察到缓存阻塞带来的好处。
最后的想法
基本上这个答案已经解决了所有问题，除了以下问题：
- 为什么 R 的
rowSums 效率低于应有水平。
- 为什么不进行任何优化，
rowSums ("row1") 比 colSums ("col1") 快。
再次，我无法解释第一个，实际上我不在乎，因为我们可以轻松编写比 R 的内置版本更快的版本。
第二个绝对值得追求。我复制了我们讨论室中的 cmets 以供记录。
这个问题归结为：“为什么将单个向量相加比按元素相加两个向量要慢？”
我不时看到类似的现象。我第一次遇到这种奇怪的行为是在几年前，当我编写自己的矩阵-矩阵乘法时。我发现 DAXPY 比 DDOT 快。
DAXPY 这样做：y += a * x，其中x 和y 是向量，a 是标量； DDOT 这样做：a += x * y。
鉴于 DDOT 是一种归约操作，我希望它比 DAXPY 快。但是不，DAXPY 更快。
但是，只要我展开矩阵乘法的三重循环嵌套中的循环，DDOT 就比 DAXPY 快得多。
您的问题也发生了非常相似的事情。减少操作：a = x[1] + x[2] + ... + x[n] 比元素方式添加：y[i] += x[i] 慢。但是一旦循环展开，就失去了后者的优势。
由于没有证据，我不确定以下解释是否属实。
归约操作有一个依赖链，因此计算是严格串行的；另一方面，逐元素操作没有依赖链，因此 CPU 可能会做得更好。
一旦我们展开循环，每次迭代都有更多的算术要做，CPU 可以在这两种情况下进行流水线操作。然后可以观察到归约操作的真正优势。
回复Jaap关于使用rowSums2和colSums2来自matrixStats
仍然使用上面的 5000 x 5000 示例。
A <- matrix(0, 5000, 5000)
library(microbenchmark)
source("matSums.R")
library(matrixStats) ## NEW
microbenchmark("col0" = base::colSums(A),
"col*" = matrixStats::colSums2(A), ## NEW
"col1" = colSums_zheyuan(A, 1),
"col2" = colSums_zheyuan(A, 2),
"row0" = base::rowSums(A),
"row*" = matrixStats::rowSums2(A), ## NEW
"row1" = rowSums_zheyuan(A, nrow(A), 1, 1),
"row2" = rowSums_zheyuan(A, 2040, 1, 1),
"row3" = rowSums_zheyuan(A, 1360, 1, 2),
"row4" = rowSums_zheyuan(A, 1360, 2, 2))
Unit: milliseconds
expr min lq mean median uq max neval
col0 71.53841 71.72628 72.13527 71.81793 71.90575 78.39645 100
col* 75.60527 75.87255 76.30752 75.98990 76.18090 87.07599 100
col1 71.67098 71.86180 72.06846 71.93872 72.03739 77.87816 100
col2 38.88565 39.03980 39.57232 39.08045 39.16790 51.39561 100
row0 187.44744 187.58121 188.98930 187.67168 187.86314 206.37662 100
row* 158.08639 158.26528 159.01561 158.34864 158.62187 174.05457 100
row1 54.62389 54.81724 54.97211 54.92394 55.04690 56.33462 100
row2 54.15409 54.44208 54.78769 54.59162 54.76073 60.92176 100
row3 41.43393 41.63886 42.57511 41.73538 41.81844 111.94846 100
row4 37.07175 37.25258 37.45033 37.34456 37.47387 43.14157 100
我没有看到 rowSums2 和 colSums2 的性能优势。