我有以下问题，并且无法理解方程式的一部分：
估计积分的蒙特卡洛方法基本上是，取大量随机样本并确定加权平均值。例如，f(x) 的积分可以从 N 个独立的随机样本 xr by
中估计出来alt text http://www.goftam.com/images/area.gif
对于 xr 在 [x1, x2] 范围内的均匀概率分布。由于每个 函数评估 f(xr) 是独立的，很容易分发这项工作 通过一组进程。
我不明白 f(xr) 应该做什么？它是否反馈到相同的方程中？那不是无限循环吗？
【问题讨论】：
标签： math simulation montecarlo
【讨论】：
您的目标是计算 f 从 x1 到 x2 的积分。例如，您可能希望计算sin(x) 从0 到pi 的积分。
使用 Monte Carlo 积分，您可以通过在区间 [x1,x2] 中采样随机点并在这些点处评估 f 来近似此值。或许你想称之为MonteCarloIntegrate( f, x1, x2 )。
所以不，MonteCarloIntegrate 不会“反馈”到自身。它调用一个函数f，即您尝试进行数值积分的函数，例如sin.
【讨论】：
将f(x_r) 替换为f(x_r_i)（阅读：f 评估为x sub r sub i）。 r_i 是从区间[x_1, x_2] 中均匀随机选择的。
重点是：[x_1, x_2] 上f 下的面积等于(x_2 - x_1) 乘以区间[x_1, x_2] 上f 的平均值。那是
A = (x_2 - x_1) * [(1 / (x_2 - x_1)) * int_{x_1}^{x_2} f(x)\, dx]
方括号中的部分是f 在[x_1, x_2] 上的平均值，我们将其表示为avg(f)。我们如何估计f 的平均值？通过在N 随机点对其进行采样，并取在这些随机点评估的f 的平均值。也就是说：
avg(f) ~ (1 / N) * sum_{i=1}^{N} f(x_r_i)
其中x_r_1, x_r_2, ..., x_r_N 是从 [x_1, x_2] 中均匀随机选择的点。
然后
A = (x_2 - x_1) * avg(f) ~ (x_2 - x_1) * (1 / N) * sum_{i=1}^{N} f(x_r_i).
这是考虑这个等式的另一种方式：在区间[x_1, x_2] 上f 下的面积与长度为(x_2 - x_1) 且高度等于f 的平均高度的矩形的面积相同. f的平均高度约为
(1 / N) * sum_{i=1}^{N} f(x_r_i)
这是我们之前产生的价值。
【讨论】：
是 xi 还是 xr 无关紧要 - 这是我们输入函数 f() 的随机数。
我更有可能将函数（除了格式化）编写如下：
(x2-x1) * sum(f(xi))/N
这样，我们可以看到我们取 f(x) 的 N 个样本的平均值来获得函数的平均高度，然后乘以宽度 (x2-x1)。
因为毕竟积分只是计算曲线下的面积。 （好图http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/integ.html#c4。
【讨论】：
x_r 是积分范围内的随机值。
用 Random(x_1, x_2) 代替 x_r 会得到一个等价的方程。
【讨论】：