如何有效地模拟伯努利随机变量的总和？答案

【问题标题】：How can I efficiently model the sum of Bernoullli random variables?如何有效地模拟伯努利随机变量的总和？
【发布时间】：2011-05-23 10:18:37
【问题描述】：

我正在使用 Perl 来建模一个随机变量 (Y)，它是一些 ~15-40k 独立伯努利随机变量 (X_i) 的总和，每个变量都有不同的成功概率 (p_i)。正式地，Y=Sum{X_i} 其中Pr(X_i=1)=p_i 和Pr(X_i=0)=1-p_i。

我有兴趣快速回答诸如Pr(Y<=k) 之类的查询（其中给出了k）。

目前，我使用随机模拟来回答此类查询。我根据p_i随机抽取每个X_i，然后将所有X_i值相加得到Y'。我重复这个过程几千次，然后返回部分时间Pr(Y'<=k)。

显然，这并不完全准确，尽管随着我使用的模拟次数的增加，准确度会大大提高。

你能想出一个合理的方法来得到准确的概率吗？

【问题讨论】：

有趣的问题，但对于确切概率，您需要在统计书中找到公式或使用微积分自己推导出它。换句话说，这并不是一个真正的编程问题。另一方面，当您确实找到一个声称可以给出答案的公式时，您需要确保该公式与您能够编程的最佳模拟一致。
变量这么多，使用高斯近似应该是安全的。除非你有病态的病例（比如很多 p_i=0）并且需要极高的准确率。
@Giacomo Verticale：p_is 通常非常小。在某些情况下，泊松比高斯要好得多。

【解决方案1】：

首先，我会避免为此使用内置的 rand，因为它过于依赖底层 C 库实现而不是可靠的（例如，请参阅我的 blog post 指出 @987654327 的范围@ 在 Windows 上的基数为 32,768）。

要使用 Monte-Carlo 方法，我将从已知良好的随机生成器开始，例如 Rand::MersenneTwister 或仅使用 Random.org 的服务之一并为 Y 预先计算 CDF，假设 @987654329 @ 相当稳定。如果每个Y只使用一次，那么预计算CDF显然是没有意义的。

在概率论和统计学中，泊松二项分布是独立伯努利试验之和的离散概率分布。

换句话说，它是成功概率p1, ..., pn的n个独立yes/no实验序列中成功次数的概率分布。（强调我的）

我们讨论了它在计算速度和实现以及简化分析方面的一些优势，后者的示例包括矩的计算以及二项式系数和二项式累积分布函数 (cdf) 的新三角恒等式的开发.

【讨论】：

【解决方案2】：

据我记得，这不应该渐近地成为正态分布吗？另请参阅此新闻组主题：http://newsgroups.derkeiler.com/Archive/Sci/sci.stat.consult/2008-05/msg00146.html

如果是这样，您可以使用Statistics::Distrib::Normal。

【讨论】：

【解决方案3】：

获得概率分布后，您可以通过计算概率的累积和轻松获得 CDF。

【讨论】：