我想生成一个泊松过程。如果时间 t 到达的次数是 N(t) 并且我有一个带有参数 λ 的泊松分布，我该如何生成 N(t)?我将如何在 C++ 中做到这一点？
我最初想使用泊松分布生成该过程。但是，我对我需要的过程中的哪些参数感到困惑；我以为我可以使用 N(t) 但这告诉我在间隔 (0,t] 上发生了多少次到达，这不是我想要的。所以，然后我想我可以使用 N(t2)-N(t1) 来获取区间 [t1,t2] 上的到达次数。因为 N( t)~Poisson(tx λ) 我可以使用Poisson(t2 x λ)-Poisson(t1 x λ)，但我不想要一个区间内的到达数。
相反，我想生成到达发生的明确时间。
我可以通过使间隔 [t2,t1] 足够小来做到这一点，以便每个间隔只有一次到达（发生为 |t2-t1| -> 0 em>)。
【问题讨论】：
标签： c++ random poisson stochastic-process
通过泊松过程生成到达时间并不意味着使用泊松分布。它是通过创建基于泊松到达率 lamda 的指数分布来完成的。
简而言之，你需要生成一个平均值=1/lamda的指数分布，看下面的例子：
#include <iostream>
#include <iterator>
#include <random>
int
main ()
{
// seed the RNG
std::random_device rd; // uniformly-distributed integer random number generator
std::mt19937 rng (rd ()); // mt19937: Pseudo-random number generation
double averageArrival = 15;
double lamda = 1 / averageArrival;
std::exponential_distribution<double> exp (lamda);
double sumArrivalTimes=0;
double newArrivalTime;
for (int i = 0; i < 10; ++i)
{
newArrivalTime= exp.operator() (rng); // generates the next random number in the distribution
sumArrivalTimes = sumArrivalTimes + newArrivalTime;
std::cout << "newArrivalTime: " << newArrivalTime << " ,sumArrivalTimes: " << sumArrivalTimes << std::endl;
}
}
运行这段代码的结果：
newArrivalTime: 21.6419 ,sumArrivalTimes: 21.6419
newArrivalTime: 1.64205 ,sumArrivalTimes: 23.2839
newArrivalTime: 8.35292 ,sumArrivalTimes: 31.6368
newArrivalTime: 1.82962 ,sumArrivalTimes: 33.4665
newArrivalTime: 34.7628 ,sumArrivalTimes: 68.2292
newArrivalTime: 26.0752 ,sumArrivalTimes: 94.3045
newArrivalTime: 63.4728 ,sumArrivalTimes: 157.777
newArrivalTime: 3.22149 ,sumArrivalTimes: 160.999
newArrivalTime: 1.64637 ,sumArrivalTimes: 162.645
newArrivalTime: 13.8235 ,sumArrivalTimes: 176.469
因此，根据您的实验，您可以使用：newArrivalTime 或 sumArrivalTimes。
【讨论】：
这里是使用C++ TR1 生成泊松样本的示例代码。
如果你想要一个泊松过程，到达之间的时间是指数分布的，指数值可以用逆 CDF 方法生成： -k*log(u) 其中 u 是均匀随机数变量，k 是指数的平均值。
【讨论】：
1/k，而不是k？
在python中，你可以试试下面的代码。
如果您想在 60 秒内生成 20 个随机读数。即（20 是 lambda）
def poisson_job_generator():
rateParameter = 1.0/float(60/20)
while True:
sl = random.expovariate(rateParameter)
【讨论】：
如果您有一个速率参数为 L 的 Poisson 过程（这意味着，从长远来看，每秒有 L 个到达），则到达间隔时间呈指数分布，均值为 1/L。所以 PDF 为 f(t) = -L*exp(-Lt)，CDF 为 F(t) = Prob(T
假设您使用的语言具有生成均匀分布在 0 和 1 之间的随机数的函数（我们称之为 rand()），则逆 CDF 技术简化为计算：
-log(rand()) / L
由于 python 提供了生成指数分布的随机数的函数，您可以模拟泊松过程中的前 10 个事件，平均每秒到达 15 次，如下所示：
import random
for i in range(1,10):
print random.expovariate(15)
请注意，这会产生 *inter*arrival 时间。如果您想要到达时间，则必须像这样继续向前移动时间变量：
import random
t= 0
for i in range(1,10):
t+= random.expovariate(15)
print t
【讨论】：
log(rand())时一定不要取0的对数。一个常见的技巧是计算 log(1.0 - rand())，因为 rand() 通常返回一个小于 1 的数字。
此处的讨论包含有关使用反向采样生成到达间隔的所有详细信息，这通常是人们想要为游戏做的事情。
【讨论】：
如果您使用的是 python，则可以使用 random.expovariate(rate) 以每个时间间隔的速率事件生成到达时间
【讨论】：
我会非常小心地使用逆 CDF 并通过它抽取一个统一的随机数。这里的问题是，逆 CDF 通常在数值上不稳定，或者产生它的函数会在区间末端附近产生不希望的波动。出于这个原因，我会推荐类似“C 中的数字食谱”中使用的拒绝方法。参见 NRC 7.3 章给出的 poidev 函数：http://www.nrbook.com/a/bookcpdf/c7-3.pdf
【讨论】：
为了从分布中挑选样本，您需要计算逆累积分布函数 (CDF)。您首先在实数区间 [0, 1] 上均匀选取一个随机数，然后取该值的逆 CDF。
【讨论】：