给定素数分解，生成一个数的所有因数

Question

如果您已经对一个数进行了质因式分解，那么获得该数的所有因式的最简单方法是什么？我知道我可以从 2 循环到 sqrt(n) 并找到所有可整除的数字，但这似乎效率低下，因为我们已经有了素数分解。

我想它基本上是组合/选择函数的修改版本，但我似乎只能找到计算组合数量的方法，以及计算因子数量的方法，而不是实际生成组合/因子.

Answer 1

dimo414，生成因素通常被认为是一项非常艰巨的任务。事实上，保护您的大部分重要资产（即金钱、信息等），都依赖于简单但极其困难的数字分解任务。请参阅这篇关于 RSA 加密方案http://en.wikipedia.org/wiki/RSA_(cryptosystem) 的文章。我跑题了。

为了回答您的问题，Nikita 指出，组合方法是您最好的方法（顺便说一句，对您的解释表示赞赏）。

我知道我可以从 2 循环到 sqrt(n) 并找到所有可整除 数字

由于与生成素数相关的概念非常相似，许多人都得出了这个结论。不幸的是，这是不正确的，因为您会错过几个大于 sqrt(n) 的非素数因子（我会让您自己证明这一点）。

现在，要确定任何给定数 n 的因子数，我们查看 n 的素数分解。如果 n = p^a，那么我们知道 n 将有 (a + 1) 个因数 (1, p, p2, ... , p^a)。这是确定因子总数的关键。如果 n 有多个素因数，比如说

n = p₁^a· p₂^b··· p_k^r

然后使用计数的Product Rule（http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_product），我们知道会有

m = (a + 1)·(b + 1)··· (r + 1)

因素。现在，我们需要做的就是找到素数分解给我们的所有可能的数字组合。下面是 R 中的一些代码，希望能演示我所解释的内容。

我的代码的第一部分对素数进行了简单的检查，因为如果数字是素数，则唯一的因数是 1 和它本身。接下来，如果数字不是素数且大于 1，我首先找到数字的素数分解，假设我们有，

n = p₁^a· p₂^b··· p_k^r

然后我只找到标记为 UniPrimes, 的唯一素数，因此对于这个例子，UniPrimes 将包含 (p₁, p₂, p_k)。然后，我找到每个素数的所有幂，并将其添加到标有 MyFactors 的数组中。 创建此数组后，我会在 MyFactors 中找到元素的所有可能乘积组合。最后，我将 1 添加到数组中（因为它是一个微不足道的因素），然后对其进行排序。瞧！它速度极快，适用于具有许多因素的非常大的数字。

我试图使代码尽可能地翻译成其他语言（即我假设您已经构建了一个生成素数分解（或使用内置函数）和素数测试函数的函数。）和我没有使用 R 独有的专用内置函数。如果有不清楚的地方，请告诉我。干杯！

factor2 <- function(MyN) {

    CheckPrime <- isPrime(MyN)

    if (CheckPrime == F && !(MyN == 1)) {
            MyPrimes <- primeFactors(MyN)
            MyFactors <- vector()
            MyPowers <- vector()
            UniPrimes <- unique(MyPrimes)
                    for (i in 1:length(UniPrimes)) {

                            TempSize <- length(which(MyPrimes == UniPrimes[i]))

                            for (j in 1:TempSize) {
                                    temp <- UniPrimes[i]^j
                                    MyPowers <- c(MyPowers, temp)
                            }

                    }
            MyFactors <- c(MyFactors, MyPowers)
            MyTemp <- MyPowers
            MyTemp2 <- vector()
            r <- 2
            while (r <= length(UniPrimes)) {

                    i <- 1L

                    while (i <= length(MyTemp)) {
                            a <- which(MyPrimes >  max(primeFactors(MyTemp[i])))
                                    for (j in a) {
                                            temp <- MyTemp[i]*MyPowers[j]
                                            MyFactors <- c(MyFactors, temp)
                                            MyTemp2 <- c(MyTemp2, temp)
                                    }
                            i <- i + 1
                    }
                    MyTemp <- MyTemp2
                    MyTemp2 <- vector()
                    r <- r + 1
            }
    } else {
            if (MyN == 1) {
                    MyFactors <- vector()
            } else {
                    MyFactors <- MyN
            }
    }
    MyFactors <- c(1, MyFactors)
    sort(MyFactors)
}

Answer 2

想象素数除数是桶里的球。例如，如果您的数字的主要除数是 2、2、2、3 和 7，那么您可以取 0、1、2 或 3 个“球 2”的实例。同样，你可以拿 'ball 3' 0 或 1 次和 'ball 7' 0 或 1 次。

现在，如果你拿 'ball 2' 两次和'ball 7' 一次，你得到除数 2*2*7 = 28。同样，如果你不拿球，你得到除数 1，如果你拿所有球，你得到除数 2*2*2*3*7 等于数字本身。

最后，要从桶中取出所有可能的球组合，您可以轻松使用递归。

void findFactors(int[] primeDivisors, int[] multiplicity, int currentDivisor, long currentResult) {
    if (currentDivisor == primeDivisors.length) {
        // no more balls
        System.out.println(currentResult);
        return;
    }
    // how many times will we take current divisor?
    // we have to try all options
    for (int i = 0; i <= multiplicity[currentDivisor]; ++i) {
        findFactors(primeDivisors, multiplicity, currentDivisor + 1, currentResult);
        currentResult *= primeDivisors[currentDivisor];
    }
}

现在你可以在上面的例子中运行它了：

findFactors(new int[] {2, 3, 7}, new int[] {3, 1, 1}, 0, 1);