C - 判断一个数是否为素数

Question

我正在尝试提出一种方法，该方法接受一个整数并返回一个布尔值来表示该数字是否为素数，而且我不太了解 C；有人愿意给我一些指点吗？

基本上，我会在 C# 中这样做：

static bool IsPrime(int number)
{
    for (int i = 2; i < number; i++)
    {
        if (number % i == 0 && i != number)
            return false;
    }
    return true;
}

Answer 1

好的，所以忘记 C。假设我给你一个数字并要求你确定它是否是素数。你怎么做呢？清楚地写下这些步骤，然后担心将它们翻译成代码。

一旦你确定了算法，你就会更容易弄清楚如何编写程序，并让其他人帮助你。

编辑：这是您发布的 C# 代码：

static bool IsPrime(int number) {
    for (int i = 2; i < number; i++) {
        if (number % i == 0 && i != number) return false;
    }
    return true;
}

这是非常接近有效的 C 原样； C 中没有 bool 类型，也没有 true 或 false，因此您需要稍微修改它（编辑：Kristopher Johnson 正确指出 C99 添加了 stdbool.h 标头）。由于有些人无法访问 C99 环境（但您应该使用一个！），让我们做一个非常小的更改：

int IsPrime(int number) {
    int i;
    for (i=2; i<number; i++) {
        if (number % i == 0 && i != number) return 0;
    }
    return 1;
}

这是一个完全有效的 C 程序，可以满足您的需求。我们可以在不费力气的情况下稍微改进一下。首先注意i总是小于number，所以检查i != number总是成功；我们可以摆脱它。

此外，您实际上不需要一直尝试除数直到number - 1；当您到达 sqrt(number) 时，您可以停止检查。由于sqrt 是一个浮点运算并且会带来很多微妙之处，因此我们实际上不会计算sqrt(number)。相反，我们可以检查 i*i <= number:

int IsPrime(int number) {
    int i;
    for (i=2; i*i<=number; i++) {
        if (number % i == 0) return 0;
    }
    return 1;
}

不过，还有最后一件事；您的原始算法中有一个小错误！如果number 为负数、零或一，此函数将声称该数是素数。您可能希望正确处理该问题，并且您可能希望将 number 设为无符号，因为您更有可能只关心正值：

int IsPrime(unsigned int number) {
    if (number <= 1) return 0; // zero and one are not prime
    unsigned int i;
    for (i=2; i*i<=number; i++) {
        if (number % i == 0) return 0;
    }
    return 1;
}

这绝对不是检查数字是否为素数的最快方法，但它有效，而且非常简单。我们几乎不需要修改您的代码！

Answer 2

1. 建立一个小素数表，并检查它们是否能整除您的输入数。
2. 如果数字存活到 1，请尝试增加基数的伪素性测试。例如，请参阅Miller-Rabin primality test。
3. 如果您的数字幸存到 2，那么如果它低于某个众所周知的界限，您可以断定它是素数。否则你的答案只会是“可能是素数”。您可以在 wiki 页面中找到这些边界的一些值。

Answer 3

检查每个整数的模数，从 2 到要检查的数字的根。

如果模数等于 0，那么它不是素数。

伪代码：

bool IsPrime(int target)
{
  for (i = 2; i <= root(target); i++)
  {
    if ((target mod i) == 0)
    {
      return false;
    }
  }

  return true;
}

Answer 4

我很惊讶没有人提到这一点。

使用Sieve Of Eratosthenes

详情：

1. 基本上非素数可以被除 1 和它们自身之外的另一个数整除
2. 因此：非素数将是素数的乘积。

Eratosthenes 的筛子找到一个素数并将其存储。当检查一个新数字的素数时，所有先前的素数都会根据已知素数列表进行检查。

原因：

1. 此算法/问题称为“Embarrassingly Parallel”
2. 它创建一个质数集合
3. 这是一个动态规划问题的例子
4. 很快！

Answer 5

我只想补充一点，没有偶数（小节 2）可以是素数。这会导致 for 循环之前的另一个条件。所以最终代码应该是这样的：

int IsPrime(unsigned int number) {
    if (number <= 1) return 0; // zero and one are not prime
    if ((number > 2) && ((number % 2) == 0)) return 0; //no even number is prime number (bar 2)
    unsigned int i;
    for (i=2; i*i<=number; i++) {
        if (number % i == 0) return 0;
    }
    return 1;
}

Answer 6

int is_prime(int val)
{
   int div,square;

   if (val==2) return TRUE;    /* 2 is prime */
   if ((val&1)==0) return FALSE;    /* any other even number is not */

   div=3;
   square=9;    /* 3*3 */
   while (square<val)
   {
     if (val % div == 0) return FALSE;    /* evenly divisible */
     div+=2;
     square=div*div;
   }
   if (square==val) return FALSE;
   return TRUE;
}

2 和偶数的处理被排除在只处理奇数除以奇数的主循环之外。这是因为奇数模偶数总是会给出非零答案，这使得这些测试变得多余。或者，换句话说，一个奇数可能能被另一个奇数整除，但绝不能被一个偶数整除（E*E=>E, E*O =>E, O*E=>E 和 O*O=>O)。

除法/模数在 x86 架构上确实很昂贵，尽管成本各不相同（请参阅http://gmplib.org/~tege/x86-timing.pdf）。另一方面，乘法相当便宜。

Answer 7

斯蒂芬·佳能回答得很好！

但是

• 可以通过观察除 2 和 3 之外的所有素数的形式为 6k ± 1 来进一步改进算法。
• 这是因为对于某个整数 k 和 i = -1、0、1、2、3 或 4，所有整数都可以表示为 (6k + i)； 2 除 (6k + 0), (6k + 2), (6k + 4);和 3 个除法 (6k + 3)。
• 因此更有效的方法是测试 n 是否可被 2 或 3 整除，然后检查 6k ± 1 ≤ √n 形式的所有数字。

• 这是测试所有 m 到 √n 的速度的 3 倍。

  int IsPrime(unsigned int number) {
      if (number <= 3 && number > 1) 
          return 1;            // as 2 and 3 are prime
      else if (number%2==0 || number%3==0) 
          return 0;     // check if number is divisible by 2 or 3
      else {
          unsigned int i;
          for (i=5; i*i<=number; i+=6) {
              if (number % i == 0 || number%(i + 2) == 0) 
                  return 0;
          }
          return 1; 
      }
  }
  

Answer 8

这个程序对于检查单个数字进行素数检查非常有效。

bool check(int n){
    if (n <= 3) {
        return n > 1;
    }

    if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) {
        return false;
    }
        int sq=sqrt(n); //include math.h or use i*i<n in for loop
    for (int i = 5; i<=sq; i += 6) {
        if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) {
            return false;
        }
    }

    return true;
}

Answer 9

阅读此问题后，我对某些答案通过运行 2*3=6 的倍数的循环提供优化这一事实很感兴趣。

所以我用同样的想法创建了一个新函数，但是是 2*3*5=30 的倍数。

int check235(unsigned long n)
{
    unsigned long sq, i;

    if(n<=3||n==5)
        return n>1;

    if(n%2==0 || n%3==0 || n%5==0)
        return 0;

    if(n<=30)
        return checkprime(n); /* use another simplified function */

    sq=ceil(sqrt(n));
    for(i=7; i<=sq; i+=30)
        if (n%i==0 || n%(i+4)==0 || n%(i+6)==0 || n%(i+10)==0 || n%(i+12)==0 
           || n%(i+16)==0 || n%(i+22)==0 || n%(i+24)==0)
            return 0;

        return 1;
}

通过运行这两个函数并检查时间，我可以说这个函数确实更快。让我们看看有 2 个不同素数的 2 个测试：

$ time ./testprimebool.x 18446744069414584321 0
f(2,3)
Yes, its prime.    
real    0m14.090s
user    0m14.096s
sys     0m0.000s

$ time ./testprimebool.x 18446744069414584321 1
f(2,3,5)
Yes, its prime.    
real    0m9.961s
user    0m9.964s
sys     0m0.000s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 0
f(2,3)
Yes, its prime.    
real    0m13.990s
user    0m13.996s
sys     0m0.004s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 1
f(2,3,5)
Yes, its prime.    
real    0m10.077s
user    0m10.068s
sys     0m0.004s

所以我想，如果一概而论，有人会获得太多吗？我想出了一个函数，它首先会进行围攻以清除给定的原始素数列表，然后使用此列表计算更大的列表。

int checkn(unsigned long n, unsigned long *p, unsigned long t)
{
    unsigned long sq, i, j, qt=1, rt=0;
    unsigned long *q, *r;

    if(n<2)
        return 0;

    for(i=0; i<t; i++)
    {
        if(n%p[i]==0)
            return 0;
        qt*=p[i];
    }
    qt--;

    if(n<=qt)
        return checkprime(n); /* use another simplified function */

    if((q=calloc(qt, sizeof(unsigned long)))==NULL)
    {
        perror("q=calloc()");
        exit(1);
    }
    for(i=0; i<t; i++)
        for(j=p[i]-2; j<qt; j+=p[i])
            q[j]=1;

    for(j=0; j<qt; j++)
        if(q[j])
            rt++;

    rt=qt-rt;
    if((r=malloc(sizeof(unsigned long)*rt))==NULL)
    {
        perror("r=malloc()");
        exit(1);
    }
    i=0;
    for(j=0; j<qt; j++)
        if(!q[j])
            r[i++]=j+1;

    free(q);

    sq=ceil(sqrt(n));
    for(i=1; i<=sq; i+=qt+1)
    {
        if(i!=1 && n%i==0)
            return 0;
        for(j=0; j<rt; j++)
            if(n%(i+r[j])==0)
                return 0;
    }
    return 1;
}

我假设我没有优化代码，但这是公平的。现在，测试。因为动态内存太多，我预计列表 2 3 5 会比硬编码的 2 3 5 慢一点。但是没关系，你可以在下面看到。在那之后，时间越来越短，最终最好的名单是：

2 3 5 7 11 13 17 19

8.6 秒。因此，如果有人要创建一个使用这种技术的硬编码程序，我建议使用列表 2 3 和 5，因为收益并不大。而且，如果愿意编码，这个列表是可以的。问题是你不能在没有循环的情况下陈述所有情况，或者你的代码会非常大（在各自的内部if 中会有 1658879 ORs，即 ||）。下一个列表：

2 3 5 7 11 13 17 19 23

时间开始变长，只有 13 秒。这里是整个测试：

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 2 3 5
f(2,3,5)
Yes, its prime.
real    0m12.668s
user    0m12.680s
sys     0m0.000s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 2 3 5 7
f(2,3,5,7)
Yes, its prime.
real    0m10.889s
user    0m10.900s
sys     0m0.000s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 2 3 5 7 11
f(2,3,5,7,11)
Yes, its prime.
real    0m10.021s
user    0m10.028s
sys     0m0.000s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 2 3 5 7 11 13
f(2,3,5,7,11,13)
Yes, its prime.
real    0m9.351s
user    0m9.356s
sys     0m0.004s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 2 3 5 7 11 13 17
f(2,3,5,7,11,13,17)
Yes, its prime.
real    0m8.802s
user    0m8.800s
sys     0m0.008s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 2 3 5 7 11 13 17 19
f(2,3,5,7,11,13,17,19)
Yes, its prime.
real    0m8.614s
user    0m8.564s
sys     0m0.052s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 2 3 5 7 11 13 17 19 23
f(2,3,5,7,11,13,17,19,23)
Yes, its prime.
real    0m13.013s
user    0m12.520s
sys     0m0.504s

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
f(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29)                                                                                                                         
q=calloc(): Cannot allocate memory

---

PS。我没有故意释放（r），将此任务交给操作系统，因为一旦程序退出，内存就会被释放，以获得一些时间。但如果您打算在计算后继续运行代码，最好释放它。

---

奖金

int check2357(unsigned long n)
{
    unsigned long sq, i;

    if(n<=3||n==5||n==7)
        return n>1;

    if(n%2==0 || n%3==0 || n%5==0 || n%7==0)
        return 0;

    if(n<=210)
        return checkprime(n); /* use another simplified function */

    sq=ceil(sqrt(n));
    for(i=11; i<=sq; i+=210)
    {    
        if(n%i==0 || n%(i+2)==0 || n%(i+6)==0 || n%(i+8)==0 || n%(i+12)==0 || 
   n%(i+18)==0 || n%(i+20)==0 || n%(i+26)==0 || n%(i+30)==0 || n%(i+32)==0 || 
   n%(i+36)==0 || n%(i+42)==0 || n%(i+48)==0 || n%(i+50)==0 || n%(i+56)==0 || 
   n%(i+60)==0 || n%(i+62)==0 || n%(i+68)==0 || n%(i+72)==0 || n%(i+78)==0 || 
   n%(i+86)==0 || n%(i+90)==0 || n%(i+92)==0 || n%(i+96)==0 || n%(i+98)==0 || 
   n%(i+102)==0 || n%(i+110)==0 || n%(i+116)==0 || n%(i+120)==0 || n%(i+126)==0 || 
   n%(i+128)==0 || n%(i+132)==0 || n%(i+138)==0 || n%(i+140)==0 || n%(i+146)==0 || 
   n%(i+152)==0 || n%(i+156)==0 || n%(i+158)==0 || n%(i+162)==0 || n%(i+168)==0 || 
   n%(i+170)==0 || n%(i+176)==0 || n%(i+180)==0 || n%(i+182)==0 || n%(i+186)==0 || 
   n%(i+188)==0 || n%(i+198)==0)
            return 0;
    }
    return 1;
}

时间：

$ time ./testprimebool.x 18446744065119617029 7
h(2,3,5,7)
Yes, its prime.
real    0m9.123s
user    0m9.132s
sys     0m0.000s

Answer 10

使用埃拉托色尼筛法，与“已知范围”的素数算法相比，计算速度要快得多。

通过使用它的 wiki (https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes) 中的伪代码，我可以在 C# 上找到解决方案。

public bool IsPrimeNumber(int val) {
    // Using Sieve of Eratosthenes.
    if (val < 2)
    {
        return false;
    }

    // Reserve place for val + 1 and set with true.
    var mark = new bool[val + 1];
    for(var i = 2; i <= val; i++)
    {
        mark[i] = true;
    }

    // Iterate from 2 ... sqrt(val).
    for (var i = 2; i <= Math.Sqrt(val); i++)
    {
        if (mark[i])
        {
            // Cross out every i-th number in the places after i (all the multiples of i).
            for (var j = (i * i); j <= val; j += i)
            {
                mark[j] = false;
            }
        }
    }

    return mark[val];
}

IsPrimeNumber(1000000000) 需要 21 秒 758 毫秒。

注意：数值可能因硬件规格而异。

Answer 11

避免溢出错误

unsigned i, number;
...
for (i=2; i*i<=number; i++) {  // Buggy
for (i=2; i*i<=number; i += 2) {  // Buggy
// or
for (i=5; i*i<=number; i+=6) { // Buggy

当number 是质数且i*i 接近类型的最大值时，这些形式不正确。

所有整数类型都存在问题，signed, unsigned 和更广泛的类型。

例子：

让UINT_MAX_SQRT 作为最大整数值的平方根的下限。例如。当unsigned 为 32 位时为 65535。

对于for (i=2; i*i<=number; i++)，这个 10 年前的故障会发生，因为当 UINT_MAX_SQRT*UINT_MAX_SQRT <= number 和 number 是质数时，下一次迭代会导致乘法溢出。如果类型是 signed 类型，则溢出是 UB。对于无符号类型，这本身不是UB，但逻辑已经崩溃。交互一直持续到截断乘积超过number。可能会出现不正确的结果。使用 32 位 unsigned，尝试 4,294,967,291，这是一个素数。

如果some_integer_type_MAX 是Mersenne Prime，i*i<=number永远不会为真。

---

为避免此错误，请考虑number%i、number/i 在许多编译器上都很高效，因为商和余数的计算是一起完成的，因此两者都不会产生额外的成本，而只是 1。

一个简单的全方位解决方案：

bool IsPrime(unsigned number) {
    for(unsigned i = 2; i <= number/i; i++){
        if(number % i == 0){
            return false;
        }
    }
    return number >= 2;
}