使用 Julia 求解具有 N 个未知数的 N 个方程组答案

【问题标题】：Solve a system of N equations with N unknowns using Julia使用 Julia 求解具有 N 个未知数的 N 个方程组
【发布时间】：2023-02-03 19:17:51
【问题描述】：

我有：

一组N个位置，可以是工作场所或住所
一个矢量观察到的工人 L_i，我在 N
一个矢量观察到的居民 R_n，n 在 N
距离矩阵观察到的在所有对住宅 n 和工作场所 i 之间
一个形状参数epsilon

设置 N=3，epsilon=5，并且

d = [1 1.5 3 ; 1.5 1 1.5 ; 3 1.5 1] #distance matrix
L_i = [13  69  18] #vector of workers in each workplace
R_n = [27; 63; 10]

我想找到解决这个 N 方程组的工资向量（大小 N），

与我所有的工作场所。

我是否需要对工人和工资的向量实施迭代算法？或者是否可以直接解决这个系统？

【问题讨论】：

标签： julia iteration linear-algebra equation-solving linear-equation

【解决方案1】：

如果给定了 L 和 R（即，不依赖于 w_i），您应该设置一个非线性搜索以从该引力方程中获得（的向量）工资（当然要对 w_i 进行归一化）。

这是一个最小的例子。我希望它有所帮助。

# Call Packages
using Random, NLsolve, LinearAlgebra

# Set seeds
Random.seed!(1704)

# Variables and parameters
N    = 10
R    = rand(N)
L    = rand(N) * 0.5
d    = ones(N, N) .+ Symmetric(rand(N, N)) / 10.0 
d[diagind(d)] .= 1.0
ε    = -3.0

# Define objective function
function obj_fun(x, d, R, L, ε) 
    
    # Find shares
    S_mat  = (x ./ d).^ε
    den    = sum(S_mat, dims = 1)
    s      = S_mat ./ den

    # Normalize last wage
    x[end] = 1.0

    # Define loss function
    loss   = L .- s * R

    # Return 
    return loss
    
end

# Run optimization
x₀   = ones(N) 
res  = nlsolve(x -> obj_fun(x, d, R, L, ε), x₀, show_trace = true)

# Equilibrium vector of wages
w    = res.zero

【讨论】：