高级算法问题（\"Nice Triangle\"）：质数金字塔，其中每个数字都取决于它上面的数字

Question

我目前正在学习高级算法和数据结构考试，但我似乎无法解决以下练习题之一：

1.14) “尼斯三角”

一个“漂亮”的三角形定义如下：

1. 三角形由三个不同的数组成，即前三个素数（2、3、5）。
2. 每个数字都以下列方式依赖于它下面的两个数字。
   • 数字相同，结果数也相同。 (2, 2 => 2)
   • 数字不同，结果数字为剩余数字。 (2, 3 => 5)

   给定一个长度为 L 的整数 N，对应于三角形的底边，确定顶部的最后一个元素

   例如： 给定 N = 25555（因此 L = 5），三角形如下所示：

       2
      3 5
     2 5 5
    3 5 5 5
   2 5 5 5 5
   

   => 2 是这个例子的结果

   每个数字都是质数这一事实与问题有什么关系？

   通过使用一种朴素的方法（简单地计算每一行），可以获得 O(L^2) 的时间复杂度。 然而，教授说，O(L) 是可能的，但我就是找不到任何模式！！！

Answer 1

我不确定为什么这个问题会用在高级算法课程中，但是是的，你可以在 O(l) = O(log n) 时间内完成。

有几种方法可以做到这一点，但它们都依赖于认识到这一点：

1. 对于问题陈述，使用什么数字并不重要。让我们使用 0、1 和 2 而不是 2、3 和 5。然后
2. 如果 a 和 b 是输入数，c 是输出数，则 c = -(a+b) mod 3
3. 您可以改为使用 c = a+b mod 3 来构建整个三角形，然后每隔一行取反。

   现在，您可以在 O(log n) 时间内执行此操作的两种方法是：

   • 对于输入中的每个数字 d，计算它被添加到最终总和中的次数（称为 k），将所有 kd mod 3 相加，如果您以偶数开始，则将结果取反的数字。每个数字需要恒定的时间。或者：
   • 认识到您可以在常数时间内对 n 大小的值进行算术运算。创建一个值，它是 n 中所有数字的位掩码。每个需要 2 位。然后通过使用按位运算，您可以在恒定时间内计算前一行的每一行，总共为 O(log n) 时间。