N 个观测值中 k 个观测值的平均值低于某个值的概率答案

【问题标题】：Probability that the mean of k observations out of N is under a certain valueN 个观测值中 k 个观测值的平均值低于某个值的概率
【发布时间】：2022-08-19 01:13:26
【问题描述】：

我试图估计来自总体的 3 个观察值的平均值低于某个值的概率。

假设我想知道 3 人的平均身高低于 1.8m 的概率是多少

人口 = c(1.7, 1.9, 1.6, 1.76, 1.8, 1.72, 1.99, 2, 1.66, 1.89)

如果我随机选择 3 个观测值 (x_i, x_j, x_k)... 这 3 个观测值的平均值低于 1.8m 的概率是多少？

提前致谢。

您想要基于您的观察的经验概率，还是基于假设（或已知）人口密度的理论概率？
也许两者兼而有之？首先根据我的观察我猜..因为我不知道人口的理论密度（如果它具有正态分布怎么办？）...

标签： r math probability

【解决方案1】：

由于变量总和的分布由convolutions 给出，因此您可以根据总体值之间的差距，使用足够小的采样窗口使用 FFT 对卷积进行近似。

如果 k 很大，可以使用中心极限定理来近似：

sqrt(k)(sum_k(x_k)/k - population-mean)/population_stdev 为 Normal(0,1)。这使得评估很容易：

P(sum_k(x_k)/k< Val) = P( sqrt(k)(sum_k(x_k)/k - population_mean)/population_stdev<sqrt(k)(Val-population_mean/population_stdev)

= Phi(sqrt(k)(Val-population_mean)/population_stdev) 其中Phi is the standard normal CDF.

【讨论】：