数学图到方程答案

【问题标题】：Math Graph to Equation数学图到方程
【发布时间】：2019-07-29 13:05:56
【问题描述】：

是否有工具可以将方程的图形表示转换为该方程？（近似数学方程的图形表示）

【问题讨论】：

图形是“图形结构”还是“光栅图像”？
提问到提问？什么是提问？电子题？
a) 图形化为 x-y 轴图 b) 问题类型：sin(x)*x^3+3 等
@Alex：不是每个人都以英语为母语，你知道的，对吧？
这里实际上有几个可能的问题域（即使在澄清之后）。您是否知道答案是由一小部分（或至少合理的小）基本功能组成的？你需要一个精确的解决方案，还是一个体面的近似值？输入数据是否精确，或者可能包含一些噪声或测量误差？已经提出的解决方案在某些情况下都是正确的，而在其他情况下则不正确。

【解决方案1】：

这是一个棘手的问题，通常称为interpolation。对于简单的多项式图，这是一个简单的问题。（您总能找到“完全匹配”。）看看polynomial interpolation。但是你也可以有一个代表一些三角函数的图表。或者指数函数或对数函数怎么样。或者更糟糕的是，组合！即使是简单的图，也可能有成千上万个有趣的潜在方程。

即使你做检查所有有趣的方程式，你仍然应该小心。考虑方程y = A * sin(B*x)，A 和B 的值非常大。这张图看起来怎么样？嗯，它一遍又一遍地在A 和-A 之间上下波动，非常快，几乎所有点都“命中”或“几乎命中”。这是一个“简单”的公式，在数学上看起来是一个很好的近似值，但它仍然很可能不是你最终想要的。

【讨论】：

@aioobe：任何连续函数都可以通过多项式非常接近，无论是三角函数还是它们的更差组合。对于大多数函数，尤其是可以绘制的函数，一个高次多项式应该足够好。因此，即使实际方程可能不同，多项式也会给出非常好的图形近似值。见：mathworld.wolfram.com/WeierstrassApproximationTheorem.html
嗯，你听说过Runge's phenomenon吗？当然，一个高次多项式会“解决”它，但它可能仍然不是您想要的。
@Moron：不是任何连续函数。例如，y=sin(1/x) 在开区间0 < x < 1 上是连续的，但不能用多项式逼近，因为它有无限数量的转折点。您最多只能说“任何看起来像多项式的函数都可以用多项式来近似”。
@Mike：任何在有界区间上连续的函数都可以用多项式逼近。由于我们正在谈论具有开始和结束 x 坐标的图形，我相信这仍然适用。我本来可以更清楚，但我链接到的页面应该消除对此的怀疑。
我想这取决于你如何定义近似值。

【解决方案2】：

一个可能符合您描述的常见问题称为curve fitting：您有一些数据（在您的情况下，您已经从图表中读取）并且您想到了一个方程的形式，并且您想要找到最适合图形的方程所需的参数。

一个有用的方法是适合least squares 错误。大多数数据分析工具包都提供最小二乘包。

这是一个例子：假设方程是 A*sin(2*pi*100.x)*x^B，我需要找到最适合我的 A 和 B 的值（A=10.0 和在本例中 B=3.0）。

这是用于生成此拟合的代码。它使用 Python 和 Scipy，并根据示例 here 进行了修改。）

from numpy import *   
from scipy.optimize import leastsq
import matplotlib.pyplot as plt

def my_func(x, p):   # the function to fit (and also used here to generate the data)
    return p[0]*sin(2*pi*100.*x)*x**p[1]


# First make some data to represent what would be read from the graph
p_true = 10., 3.0  # the parameters used to make the true data
x = arange(.5,.5+12e-2,2e-2/60)
y_true = my_func(x, p_true)
y_meas = y_true + .08*random.randn(len(x))   # add some noise to make the data as read from a graph


# Here's where you'd start for reading data from a graph
def residuals(p, y, x):  # a function that returns my errors between fit and data
    err = y - my_func(x, p)
    return err

p0 = [8., 3.5]  # some starting parameters to my function (my initial guess)

plsq = leastsq(residuals, p0, args=(y_meas, x))  # do the least squares fit

# plot the results
plt.plot(x, my_func(x, plsq[0]), x, y_meas, '.', x, y_true)
plt.title('Least-squares fit to curve')
plt.legend(['Fit', 'Graph', 'True'])
plt.show()

【讨论】：

+1 用于解释。只是想指出，在某些情况下，还有其他方法（例如最大似然估计）更准确。请参阅本文以获得很好的介绍性解释scribd.com/doc/7372377/…
@nico - 你说得对，MLE 在某些情况下更准确，但不是这个。最小二乘法是一种准确、常见、快速和简单的线性方法，对于需要定义“曲线拟合”的问题，它是正确的选择。无论如何，虽然我通常和你一样认为正态分布被过度使用，但这是一个合理的假设，在这种情况下，最小二乘法和 MLE 是一回事。
使用任何拟合方法都需要您猜测（或一组猜测）解决方案将具有何种功能形式。因此，这种方法在某些情况下很有用，而在其他情况下则无效。

【解决方案3】：

我见过一些工具可以将方程拟合到图像中的图形，但我现在不记得它们的名字了。快速谷歌搜索发现了这个商业应用程序：http://imagedig-2d-3d-image-digitizer.smartcode.com/info.html

【讨论】：