未排序数组中的最大间隙

Question

我从这里开始关注算法：

http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/teaching/dm-reading-assignments/Maximum-Gap-Problem.pdf

我不明白第 2 步和第 3 步：

1. 将区间 [xmin,xmax] 分成相等大小 delta= (xmax–xmin)/(n-1) 的 (n−1) 个“桶”

2. 对于每个剩余的 (n-2) 个数字，使用 floor 函数确定它落在哪个桶中。数 xi 属于第 k 个桶 Bk 当且仅当(xi-xmin)/δ=k-1。

让我们说 a = [13, 4, 7, 2, 9, 17, 18]

最小值：2 最大值：18 n-1：6。 所以我的桶数将是 6。而 delta = (18-2)/6 = 2。即 6 个桶 每个元素都有 2 个元素。 （我总共可以拥有 12 个元素）

第 2 步。问： 如果只有 12 个元素，我的最大 18 个元素在哪里？

第 3 步。 对于元素 18： 根据算法，它应该在 math.floor((17-2)/float(2)) = 7 所以 18 应该在第 8 个块中，但我们只有 (n-1) = 6 个桶。

对我来说是个谜！

编辑1： 对不起 第 3 步：错误的数学： math.floor((17-2)/float(2)) = 5 仍然需要弄清楚最小值和最大值在哪里。

编辑2： 根据 Miljen Mikic 的回答： 他是对的，我的问题是“我们用最大值和最小值做什么” 在第 6 步中：

在L中求一对连续的最小值和最大值之间的最大距离(ximax,xjmin)，其中j>i。

j > i 怎么来的？即下一个桶的最大值和当前桶的最小值。

Answer 1

在您引用的算法中，您没有将最小值和最大值放在桶中。注意第5步后的注释：

注意：因为有 n-1 个桶并且只有 n-2 个数字..

如果您将最小值和最大值放在某些存储桶中，那么您将拥有 n 数字，而不是 n-2。现在真正的问题是：如何处理最小值和最大值？实际上，算法的第 6 步应该更清楚一点。当你检查列表 L 时，你应该从x-min 开始并与x1-min 进行比较，最后你应该比较x(n-1)-max 和x-max，因为最大差距实际上可以包括最小值或最大值，就像你得到的例如在此示例中：[1,7,3,2]。当然，这两个额外的比较仍然会给你线性时间复杂度。

请注意，您也可以通过将最小值和最大值放入桶中来稍微更改算法（通过完全相同的公式！），然后您将拥有 n 数字和 n 桶。为什么？最小值总是放在第一个桶中（参见公式），最大值需要放在 n-th 桶中，以前不存在，所以如果我们应用这个更改，我们会有一个额外的桶。这意味着在这种情况下，您不能总是应用鸽洞原理，但是它仍然认为一对连续元素之间的最大距离必须至少是桶的长度。怎么来的？如果至少一个桶包含两个元素，那么一定有一些空桶，这很清楚。否则，所有桶都只包含一个元素；这意味着第一个桶包含最小值，第二个桶包含一个值至少为x_min + δ的元素，所以这个元素与x_min的差至少是桶的长度δ。为什么第二个桶中的元素必须至少是x_min + δ？如果它小于那个，例如如果是x_min + δ - k，其中k > 0，那么它也属于第一个桶，因为[((x_min + δ - k) - x_min) / δ] = [(δ - k) / δ] = 0，即不是我们假设的第二个！