算法：基于属性总和提取子集

Question

我想要一种算法（没有特定语言）从一组整数中找到一个子集，使它们的总和在一定范围内。

例如，如果我有一群人，他们的权重如下。

var people:{
   jane:126,
   julia:112,
   charles:98,
   john:182,
   bob:213,
   edgar: 237,
   jay: 223,
   dan: 191,
   alex: 210,
   david: 196
}

现在，我想从这些人那里找到一个总重量在 818-822 磅之间的子集（如果你想算一算……别打扰，这些数字超出了我的范围）头，我什至不知道这个数据集是否有解决方案）。组中的人数无关紧要，只是较大集合中的一组。真的，任何组都可以（尽管在我的情况下随机更好）。

请注意，这只是一个简单的示例...实际上会有数百人，并且可能没有任何组合符合此标准。因为实际数字会比这个大得多，所以我担心一个 n^n 问题并运行数千次迭代，即使我需要它运行得非常快。

也许我那天在计算机科学课上睡着了，但除了蛮力方法之外，我什么都想不出来。

我将它标记为 javascript，只是因为它最接近我的实际实现（而且它更容易阅读）。对其他解决方案持开放态度，只要它们不是基于某处的某些 Cthulhu 函数即可。

我知道这是一个关于 SO 的奇怪问题，但我们将不胜感激。

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好吧，我被难住了。 23 小时内为我可以通过代码理解的东西发布赏金——我的背景肯定不在这个领域，我什至很难辨别用于描述问题的符号，更不用说解决方案了。

有人想帮助我，给我一些示例 javascript 代码，我可以修改到最终项目中吗？我会尽可能增加 250pt 的赏金......但如果有一个体面的解决方案，我会在时机成熟时分发它。

Answer 1

这类似于0-1 Knapsack problem 或Subset sum problem。

如果权重不是非常大的整数，则动态规划解决方案应该是有效的。

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这里是动态规划算法的javascript实现。如果您想要随机组，只需在应用此算法之前随机打乱人员列表即可。

var p = {
   jane:126,
   julia:112,
...
};

function subset(people, min, max)
{
  var subsets = [];
  subsets[0] = '';

  for (var person in people)
  {
    for (var s = min-1; s >= 0; --s)
    {
      if (s in subsets)
      {
        var sum = s + people[person];

        if (!(sum in subsets))
        {
          subsets[sum] = subsets[s] + ' ' + person;

          if (sum >= min && sum <= max)
          {
            return subsets[sum];
          }
        }
      }
    }
  }

  return 'Not found';
}

print(subset(p, 818, 822));

Answer 2

它看起来像是“二元背包问题”的变体，增加了一个界限，即如果最佳拟合仍在可接受范围之外，则答案将被拒绝。

您可能想研究“多项式时间近似”。

一种方法是按重量对集合进行排序。然后你开始从中间向下和向上看：你得到 dan、john、david、alex，你在 779。你加上 jane，发现自己在 905，这对 87 来说太多了；所以你检查下面的名字，朱莉娅，那是 112，看看差异之间最接近的匹配。将 Alex 与 Julia (210-112) 交换将失去 98，将 David 与 Julia 交换将失去 84。泡沫，冲洗，重复。

算法是 O(n log n) 进行排序，然后取决于集合大小。它有几个缺点（不能保证会聚，群体往往是连续的，会在起点附近聚集人等），但如果你只想要“一个群体”，这可能就足够了。

您还可以递归地实现该算法。最坏的情况是 O(n^3 log n)，但如果你真的与人类一起工作（权重聚集在相当小的范围内，曲线平滑），收敛可能会很快。

Answer 3

这就是我所说的“排序和括号”问题。解决方法是对数据进行排序，然后将目标值或目标范围括起来。

例如，在这种情况下，排序顺序是：

98
112
126
182
191
196
210
213
223
237

现在您对列表进行平均：178.8。因此起始括号是 (126,182)。从这个平均值开始移动：sum(126,182,112,191,98) = 709，太小了。把98删掉，换成另一边的值：196，即sum(126,182,112,191,196) = 807，还是太小了。转到高端的下一个值，sum(126,182,112,191,210)=821。好的，找到一个匹配项。通过继续此过程，您可以找到每个匹配项。基本上，括号的作用是帮助您仅搜索所有可能组合的子集，因此您不必检查每个组合。您正在从平均值向外生成组合，而不是从一端或另一端。

每当您的总和超过/低于该范围时，您就会终止高/低端的组合生成并切换到另一个。这是问题的最优解。

实现方法：要实现此算法，您需要获得一个按“字典”顺序工作的组合生成器。然后，您从 n（例如 5 个）项目开始，并确定中值组合，如上所示。然后你得到下一个较低的组合，如果你是低的，你切换到下一个更高的组合，依此类推。

------------- 附录 -------

考虑到这一点，最好使用简单的更改类型算法而不是字典组合器。这种类型的算法将生成所有组合，但仅在给定时间切换任意 2 个元素。基本上，您修改此算法以在超出范围（超出范围或低于范围）时切换方向。

Answer 4

这是对类似问题Find combination(s) sum of element(s) in array whose sum equal to a given number的回答

<?php

$limit = 12;
$array = array(6,1,10,4,1,3,11,2,15,5,12,10,17);

echo implode(', ',$array).'<br>';

// remove items 15 and 17 because they are great then $limit = 12
$array = array_filter($array, function($var) use ($limit) {
  return ($var <= $limit);
});

rsort($array);
echo implode(', ',$array);

// the algorithm is usable if the number of elements is less than 20 (because set_time_limit)
$num = count($array); 

//The total number of possible combinations 
$total = pow(2, $num);

$out = array();

// algorithm from http://r.je/php-find-every-combination.html
// loop through each possible combination  
for ($i = 0; $i < $total; $i++) {  

    $comb = array();

    // for each combination check if each bit is set 
    for ($j = 0; $j < $num; $j++) { 
       // is bit $j set in $i? 
        if (pow(2, $j) & $i){
          $comb[] = $array[$j];
        }      
    } 

    if (array_sum($comb) == $limit)
    {
      $out[] = $comb;
    }
}

array_multisort(array_map('count', $out), SORT_ASC, $out);

$out = array_unique($out, SORT_REGULAR);

foreach($out as $result) echo implode(', ', $result).'<br>';

此代码的输出是组合列表，其总和仅为 $limit(12)...

12
10, 2
11, 1
5, 4, 3
6, 4, 2
6, 5, 1
10, 1, 1
5, 4, 2, 1
6, 3, 2, 1
6, 4, 1, 1
5, 3, 2, 1, 1