鉴于
一组数字n[1], n[2], n[3], .... n[x]
还有一个数字M
我想找到最好的组合
n[a] + n[b] + n[c] + ... + n[?] >= M
该组合应达到达到或超过 M 所需的最小值，没有其他组合可以提供更好的结果。
将在 PHP 中执行此操作，因此可以使用 PHP 库。如果没有，只需一个通用算法即可。谢谢！
【问题讨论】：
这看起来像一个经典的Dynamic Programming 问题（其他答案也提到了它与 0-1 背包和子集求和问题的相似性）。整个事情归结为一个简单的选择：对于列表中的每个元素，我们是否在求和中使用它。我们可以编写一个简单的递归函数来计算答案：
f(index,target_sum)=
0 if target_sum<=0 (i.e. we don't need to add anymore)
infinity if target_sum>0 and index is past the length of n (i.e. we have run out of numbers to add)
min( f(index+1,target_sum), f(index+1,target_sum-n[index])+n[index] ) otherwise (i.e. we explore two choices - 1. take the current number 2. skip over the current number and take their minimum)
由于此函数具有重叠的子问题（它会一遍又一遍地探索相同的子问题），因此最好使用缓存来记忆函数以保存之前已经计算过的值。
这是 Python 中的代码：
#! /usr/bin/env python
INF=10**9 # a large enough number of your choice
def min_sum(numbers,index,M, cache):
if M<=0: # we have reached or gone past our target, no need to add any more
return 0
elif len(numbers)==index: # we have run out of numbers, solution not possible
return INF
elif (index,M) in cache: # have been here before, just return the value we found earlier
return cache[(index,M)]
else:
answer=min(
min_sum(numbers,index+1,M,cache), # skip over this value
min_sum(numbers,index+1,M-numbers[index],cache)+numbers[index] # use this value
)
cache[(index,M)]=answer # store the answer so we can reuse it if needed
return answer
if __name__=='__main__':
data=[10,6,3,100]
M=11
print min_sum(data,0,M,{})
此解决方案仅返回最小总和，而不是用于生成它的实际元素。您可以轻松扩展该想法以将其添加到您的解决方案中。
【讨论】：
我认为greedy algorithm 方法会起作用。 你希望这组数字有多少？如果它相当低，您可以尝试backtrack，但我不建议将它用于大型集合。
【讨论】：
pseudocode:
list<set> results;
int m;
list<int> a;
// ...
a.sort();
for each i in [0..a.size]
f(i, empty_set);
// ...
void f(int ind, set current_set)
{
current_set.add(a[ind]);
if (current_set.sum > m)
{
results.add(current_set);
}
else
{
for (int i=ind + 1; i<a.size; ++i)
{
f(i, current_set); // pass set by value
// if previous call reached solution, no need to continue
if (a[ind] + current_set.sum) > m
break;
}
}
}
// choose whatever "best" result you need from results, the one
// with the lowest sum or lowest number of elements
【讨论】：
这类问题称为二进制linear programming（整数线性规划的一种特殊情况）。众所周知，它是 NP 难的——即通常无法有效解决。
但是，商业和免费使用都存在很好的求解器，例如开源求解器lpsolve，您可以从程序中调用它。
/编辑：旧答案是废话。我混淆了这些因素。
【讨论】：
我认为这是 NP 完全的（一般来说找不到快速的方法）。你提出问题的方式让我想到用从 M 开始稳步增加的目标整数来解决连续的Subset sum problems。
在您的示例中，没有确定是否可以达到 M 的已知方法。只有蛮力解决方案会告诉您这是不可能的，然后您才能检查 M+1。
但是，您可能希望查看 DP solution，因为这至少可以让您了解如何解决问题（尽管速度很慢）。还有一个approximate 解决方案，如果您的人数很少，这将是正确的。 使用这个。最后，值得指出的是，问题的大小是用位数来衡量的，而不是集合的大小（或总和）。
如上所述，这与Knapsack problem有关。
【讨论】：
这个问题几乎完全是subset sum problem，它与背包问题有关但不同，并且是NP完全的。但是，如果所有数字都小于某个常数，则存在线性解，并且存在多项式时间近似。请参阅上面引用的维基百科页面。
【讨论】：
如果问题要求最少项目数，则贪心解决方案有效。但是maximum(..)函数要考虑到当M为负时maximum应该返回数字到0的距离。（abs()的值）。
maximum() 函数可以通过二叉堆实现。复杂度为 O(n.logn)。
【讨论】：
贪婪的解决方案会奏效 一个伪：
algo(input_set , target_sum, output_set )
if input_set is NULL
error "target_sum can never be reached with all input_set"
return
the_max = maximum(input_set)
remove the_max from input_set
if the_max > target_sum
algo(input_set, target_sum, ouptput_set )
return
add the_max to output_set
algo(input_set, target_sum - the_max, output_set )
使用 output_set = NULL 调用。 排序 intput_set 以提高效率。
【讨论】：