循环位掩码答案

【问题标题】：Looping over a bitmask循环位掩码
【发布时间】：2016-12-08 07:22:35
【问题描述】：

这是对TopCoder SRM 466 "Lottery Ticket" problem 的提交。我已经看到这种模式多次用于这个问题。

尼克喜欢玩彩票。一张彩票的成本就是价格。尼克正好有四张钞票，其值为b1、b2、b3 和b4（其中一些值可能相等）。他想知道是否可以在不取回任何零钱的情况下购买一张彩票。换句话说，他想用他的纸币的任何子集支付一张票的确切价格。如果可能，则返回“POSSIBLE”，否则返回“IMPOSSIBLE”（为清楚起见，所有引号）。

string buy(int p, int b1, int b2, int b3, int b4) {
    int arr[] = {b1, b2, b3, b4};
    for (int msk = 0; msk < (1 << 4); ++msk) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < 4; ++i) {
            if (msk & (1 << i)) {
                sum += arr[i];
            }
        }
        if (sum == p) return "POSSIBLE";
    }
    return "IMPOSSIBLE";
}

有人能解释一下这是如何工作的吗？我不明白他为什么将值放入一个数组并使用两个嵌套的 for 循环进行循环。

【问题讨论】：

标签： algorithm bitmask

【解决方案1】：

这个问题可以扩展到任意数量的钞票，但让我们看一下这个例子。

此解决方案的想法是使用蛮力方法来解决问题。这意味着我会尝试所有可能的解决方案，如果其中一个有效，那么结果是肯定的。

在这种情况下可行的解决方案意味着我挑选的钞票的总和等于p。

我们先来看这段代码：

for (int msk = 0; msk < (1 << 4); ++msk)

这表示我将遍历从0 到2^4-1 的所有数字，即0-15。

如果你用它们的二进制符号来写这些数字，你会注意到它们涵盖了长度为 4 的所有可能组合（我们不必写所有前导零，但对于类型 @987654327，它实际上总共有 32 位@)。

让我们选择其中一个示例，例如1010。这意味着我将在1 和3 位置选择数字（从右到左从0开始）。然后我会检查这两个数字的和是否等于p。

下一个 for 循环将所有具有1 的位置的数字相加：

for (int i = 0; i < 4; ++i) {
    if (msk & (1 << i)) {
        sum += arr[i];
    }
}

如果我们分解它，那么我们有 msk 代表我们正在检查的当前组合和 (1 << i) 这只是向我们提供2^i 的左移按位运算，或者以二进制表示：

0001 = 1 << 0
0010 = 1 << 1
0100 = 1 << 2
1000 = 1 << 3

注意：(1 << i) 在括号内，因为& 具有更高的优先级，在这种情况下我们不希望这样。

如果你在两个整数之间使用&运算符，你会得到按位运算，例如

1010 & 1000 = 1000   // this is greater than 0
1010 & 0100 = 0000   // this is equal to 0

因此，if (msk & (1 << i)) 仅适用于当前组合中具有1 的职位，即msk。

我希望这也解释了他将值放入数组中的原因 - 这是因为他想为每张钞票分配一个索引，然后如果掩码的位置有 1 则使用该钞票，而不是弄清楚应该使用 4 个变量中的哪一个。

【讨论】：

感谢您的全面回答。我现在完全有信心理解它。另一个回答者告诉我这是一个指数算法。考虑到可能有数千个值，您知道任何更有效的方法吗？
确实如此。这具有指数复杂性，因为您正在尝试所有可能性并且总共有 2^n。实际复杂度为 O(2^n * n)，其中 n 是钞票数量。这可以使用动态规划以更好的方式解决。这是en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem 的子问题。在这种情况下，每个项目的价值（成本）将为 1，您只对权重感兴趣。先看一下背包算法，如果你不明白如何解决它，那么我可以更详细地解释它。复杂度还是不是很好O(P*N)
精彩的解释！非常感谢！

【解决方案2】：

它只生成所有 16 种可能的组合。每个组合用 4 位表示，1 表示已使用，0 表示未使用。

然后它计算组合的总和，如果总和正确，则打印“可能”。

【讨论】：

【解决方案3】：

对于每张纸币，您有两种选择，接受或离开（开或关）。使用 4 个音符，您可以将它们视为 4 位，如果您以二进制形式遍历 0000 到 1111，则可以遍历所有可能的选择组合。

这就是位向量的作用。外层循环生成所有可能的子集，内层循环评估一个子集，看它是否匹配所需的总和。

【讨论】：

谢谢。你知道这个算法的时间复杂度是多少吗？
就纸币数量而言，它是一种指数算法。 O(2^n) 其中 n 是音符的数量，在这种情况下为 4。