这个算法的运行时间是多少？ （递归帕斯卡三角）

Question

给定以下函数：

Function f(n,m)
   if n == 0 or m == 0: return 1
   return f(n-1, m) + f(n, m-1)

f 的运行时复杂度是多少？我知道如何快速而肮脏地做到这一点，但是如何正确地描述它呢？是O(2^(m*n))吗？

Answer 1

这是帕斯卡三角形的一个例子：每个元素都是它上面两个元素的和，边都是一。

所以f(n, m) = (n + m)! / (n! . m!)。

现在要知道计算f(n, m) 需要调用f 的次数，您可以构造一个修改后的帕斯卡三角形：考虑1 + sum（调用本身加上两个递归电话）。

画出修改后的三角形，你会很快说服自己这正是2.f(n, m) - 1。

您可以从斯特林近似中获得二项式系数的渐近行为。 http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient#Bounds_and_asymptotic_formulas

f(n, m) ~ (n + m)^(n + m) / (n^n . m^m)

Answer 2

f(n, m) 的运行时在O(f(n, m)) 中。这很容易通过以下观察得到验证：

Function g(n, m):
    if n=0 or m=0: return 1
    return g(n-1, m) + g(n, m-1) + 1

函数f 的调用频率与g 相同。此外，函数g 被准确地调用g(n, m) 次以评估g(n, m) 的结果。同样，函数f 被精确调用g(n, m) = 2*f(n, m)-1 次以评估f(n, m) 的结果。

正如@Yves Daoust 在他的回答f(n, m) = (n + m)!/(n!*m!) 中指出的那样，因此对于f，您将获得O((n+m)!/(n!*m!)) 的非递归运行时。

Answer 3

理解递归函数

f(n, 0) = 1
f(0, m) = 1
f(n, m) = f(n - 1, m) + f(n, m - 1)

在我看来，这些值就像 Pascal triangle：

   n 0  1  2  3  4 ..
 m

 0   1  1  1  1  1 ..
 1   1  2  3  4
 2   1  3  6
 3   1  4     .
 4   1           .
 .   .
 .   .

求解递归方程

帕斯卡三角形的值可以表示为binomial coefficients。平移坐标得到 f 的解：

f(n, m) = (n + m) 
          (  m  )
        = (n + m)! / (m! (n + m - m)!) 
        = (n + m)! / (n! m!)

这是一个很好的术语，在参数 n 和 m 中都是对称的。 （最终任期首先由@Yves Daoust 在本次讨论中给出）

帕斯卡法则

利用二项式系数的对称性和Pascal's Rule可以推导出f的递归方程

f(n, m) = (n + m)
          (  n  )
        = (n + m)
          (  m  )
        = ((n + m) - 1) + ((n + m) - 1)
          (      m    )   (    m - 1  )
        = ((n - 1) + m) + (n + (m - 1))
          (     m     )   (    m      )
        = f(n - 1, m) + f(n, m - 1)

确定调用次数

“f 的调用次数”计算函数 F 和 f 类似，我们只需要将 f 本身的调用和两个递归调用相加即可：

F(0, m) = F(n, 0) = 1, otherwise

F(n, m) = 1 + F(n - 1, m) + F(n, m - 1)

（首先由@blubb 在本次讨论中给出）。

了解调用次数函数

如果我们把它写下来，我们会得到另一个三角形方案：

 1  1  1  1  1 ..
 1  3  5  7
 1  5 11
 1  7     .
 1           .
 .
 .

逐个比较三角形的值，猜一猜

F(n, m) = 2 f(n, m) - 1  (*)

（@blubb 在本次讨论中首先提出的结果）

证明

我们得到

F(0, m) = 2 f(0, m) - 1  ; using (*)
        = 1              ; yields boundary condition for F 

F(n, 0) = 2 f(n, 0) - 1 
        = 1

应该如此并检查 else 子句，我们看到

F(n, m) = 2 f(n, m) - 1                                   ; assumption
        = 2 ( f(n - 1, m) + f(n, m - 1) ) - 1             ; definition f
        = 1 + (2 f(n - 1, m) - 1) + (2 f(n, m - 1) - 1)   ; algebra
        = 1 + F(n - 1, m) + F(n, m - 1)                   ; 2 * assumption

因此，如果我们使用 (*) 和 f 的 else 子句，则 F 的 else 子句结果。

由于有限差分方程和 F 的起始条件成立，我们知道它是 F（解的唯一性）。

估计调用次数的渐近行为

现在计算/估计 F 的值（即算法的运行时间）。

作为

F = 2 f - 1

我们看到了

O(F) = O(f).

所以这个算法的运行时间是

O( (n + m)! / (n! m!) )

（@Yves Daoust 在本次讨论中首先给出的结果）

近似运行时

使用Stirling approximation

n! ~= sqrt(2 pi n) (n / e)^n

无需难以计算阶乘即可获得表格。一个得到

f(n, m) ~= 1/(2 pi) sqrt((n+m) / (n m)) [(n + m)^(n + m)] / (n^n m^m)

从而到达

O( sqrt((n + m) / (n m)) [(n + m)^(n + m)] / (n^n m^m) )

（@Yves Daoust 在本次讨论中首次建议使用斯特林公式）