找到小于给定值的最大值的时间复杂度是多少？答案

【问题标题】：What is the time complexity for finding the maximum value less than a given value?找到小于给定值的最大值的时间复杂度是多少？
【发布时间】：2016-02-01 18:17:44
【问题描述】：

我所知道的对数据排序的任何数据结构，最多只能进行 O(log n) 查找。

我认为要找到小于给定值的最大值，我们需要首先发现给定值在数据结构中的位置。（我没有证据表明这是必需的第一步）。

这需要 O(log n) 时间。

从那里，我们需要找到小于该值的最大值。在数组的情况下，我们回顾一个索引 O(1)。在平衡树的情况下，我们遍历通常为 O(log n) 的路径。

无论如何，似乎平均总时间复杂度必须是 O(log n)。

这是正确的，还是我们可以做得更好？

【问题讨论】：

我认为是典型的二分查找问题，所以O(logn)
值是什么？我们可以假设它们在有限的范围内吗？您是否允许执行预计算（仅当您执行许多此类查询时才有意义）？第二个问题也毫无意义——你总是可以做得更糟:)
@IvayloStrandjev 摆脱了最糟糕的部分。
@z5h 实际上这是我评论中最重要的部分，只是一种戏弄。你能回答问题吗？
可以想象一个数据结构，它对特定值进行 O(1) 查找和 O(log(n)) 搜索 - 例如组合的 hashmap / 树。然后，您可以对最大值进行推测性查找。如果幸运的话，您可以在 O(1) 中完成整个搜索（最好的情况）。

标签： algorithm time-complexity

【解决方案1】：

如果您的值被限制在一个合理的范围内，并且对构建数据结构的复杂性没有限制，您可以使用经典的时间/空间权衡在 O(1) 内完成。

只需为所有可能的输入值保持足够大的数组即可。用一个表明没有有效最大值的值对其进行初始化。要插入一个新值，请用该数字填充该数字的每个数组元素，直到您到达一个已经包含不同最大值的元素。完成后，获取最大值就像获取数组索引处的值一样简单。

在 Python 中，对于任何值 0 到 n_max：

array = [None] * (n_max + 1)
for n in values:
    for i in range(n + 1, n_max + 1):
        if array[i] == i - 1: break
        array[i] = n

for n in lookups:
    print array[n]

【讨论】：

【解决方案2】：

不，没有更有效的基于比较的算法。最坏的情况确实受到Omega(logn) 使用基于比较的算法的限制，因为有n 可能的输出（所有这些都可以通过正确的查询来实现），并且要选择其中一个，计算树的高度必须为@987654323 @。无论使用何种数据结构，这为我们提供了使用比较来解决此问题的Omega(logn) 的下限。

这个界限显然很紧，因为在一个排序数组中，可以在O(logn) 中使用二分搜索找到所需的值。

【讨论】：

【解决方案3】：

为了快速回答，是的，它必须是 O(logn)，因为您需要数据的顺序才能将您的值与数据进行比较，并看到确实没有什么比答案更接近和低于您的值了.

【讨论】：

【解决方案4】：

回答一个更实际的问题：为有序数组中的每个 x 找到小于 x 的最大值。

假设最大值集合的大小为 n，要查找的 x 数组的大小为 m。

分别优化每个子问题，即迭代 x O(m) 次搜索值 O(logn)，你能做的最好的就是 O(m*logn)。

但是这个实际问题可以在O(m+n) 中解决 - 如果两个数组都已经排序，只需同时迭代两个数组即可。显然只有在m > n 和常数因素可能更重要的情况下才有意义特定尺寸。

【讨论】：