计算两个给定的具有相同属性的二进制数之间存在多少个 X 个 1 位的二进制数

Question

这对我来说已经有一段时间了。

给定两个表示二进制数的数组 A 和 C 具有相同的大小，由数字 0 或 1 表示的位组成，使得 C > A，并且都具有相同的 X 个 1 位，什么是计算存在多少二进制 B 的最有效方法，例如 A

示例：对于 A={0,1,0,0,1} C={1,0,1,0,0} X=2
所有 B 将是 {0,1,0,1,0},{0,1,1,0,0},{1,0,0,0,1},{1,0,0,1,0 }，这会给我答案 4。有 4 个二进制文件，在 01001 和 10100 之间有 2 个“1”位。

我有一个算法可以在给定一些 A 的情况下生成下一个 B，但我觉得继续生成下一个 B 并检查我是否已经命中 C 二进制文件效率不高。

有没有什么方法可以在不生成 B 的情况下计算 A 和 C 之间 B 的确切数量？

Answer 1

不知道你在https://math.stackexchange.com/ 上是否有答案，但让我试一试。

在下面的所有讨论中，我们只对X 1 位的数字感兴趣。为了简单起见，我不会一直这么说。

所以，假设我们可以计算低于给定值A:smaller(A) 的数字计数。要找到A 和C 之间的数字计数，我们可以将其计算为smaller(C) - smaller(A) - 1。

让我们定义一个函数来计算在 Y 位空间中存在多少具有 X 位的数字，count(X, Y)，例如count(1, 3) = 3（001，010，100）和count(2, 3) = 3（011，101，110）。这是标准组合数学，即从袋子中拉出编号为 1 到 Y 的 X 球的组合数。

count(X, Y) = Y! / ((Y-X)! * X!)

其中X! 是factorial(X)。

现在我将通过一个示例展示下一部分，如何计算smaller(A)。让A = 010010100.

首先，计算右边的 0 (2)。然后在A 下方有count(1, 2) 数字，其中最右边的 1 位向右移动（010010010、010010001）。

提示：使用count = Integer.numberOfTrailingZeros(A)

删除那个 1 位，留下 A = 010010000。

提示：使用A = A ^ (1 << count)

重复，即计数 0 (4)，但这次我们需要计数 2 位组合，即 count(2, 4)。

剩下的是A = 010000000，然后是count(3, 7)。

所以，因为 1 位在位 2、4 和 7，我们可以计算：

smaller(A) = count(1, 2) + count(2, 4) + count(3, 7)

现在，有了 count(X, Y) 的高效实现，计算 A 和 C 之间的数字计数应该不会太糟糕，即使是高位计数。

无论如何，这是一种方法，但数学方面的天才可能对此有更好的算法。