连续二进制数的连接，模运算讨论行为

Question

在这里，我为这个问题贡献了 Java 解决方案。 连续二进制数的串联： 给定一个整数 n，返回将 1 到 n 的二进制表示按顺序连接形成的二进制字符串的十进制值，取模 10^9 + 7。

class Solution {
    public int concatenatedBinary(int n) {
        long sum = 0;
    
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            sum = ((sum << Integer.toBinaryString(i).length()) + i) % 1000000007;
        }
    
        return (int) sum;
    }
}

现在我有一个疑问，那就是当我们在 for 循环中的每一步进行调制时。直到 1000000007 才会影响结果，但在那之后，它会改变 sum 变量，并且这个循环将重复。现在，为什么这个模数不会影响整体结果？提前致谢。

Answer 1

让我们来个更简单的问题：取数字 1000，将其写为位，然后取数字 1001，将其写为位，将两者连接起来，那是什么，十进制？

1000 in bits is 11 1110 1000
1001 in bits is 11 1110 1001

因此，答案将是 1111 1010 0011 1110 1001 或 1025001。

但是，让我们对此做一个更数学的理解：“连接两者”归结为：“将第一个数字中的位向左移动以腾出足够的空间，然后添加第二个数字”。而“左移 X”与“乘以 2^X”相同。就像如果我有数字“1234”，我告诉你“将其左移 2 个点”，这与乘以 100 相同：将其变为 123400，即 1234*100，而 100 只是 10 ²。因此，“左移 X 个点”与“乘以 b^X”相同，其中 b 是我们使用的数字系统的“基数”；二进制 2，十进制 10。

因此，表示相同结果的另一种方式是：'取数字 1000，乘以 2¹⁰，再加上 1001。果然：1000 * 2^10 + 1001确实是1025001。

因此，您的算法中的单个“循环”是有效的：将我们目前得到的结果乘以 2（X 次，其中 X 是数字中最高 1 位的位置我们正在处理这个循环），然后添加新数字。

所以，这只是乘法和加法。

模数具有对这些运算稳定的特性。

考虑基本的数学：您可能被教过有关数轴的知识。一条水平线，无限大。

模数系统没有什么不同，除了数轴是一个大循环。这是一个圆圈。在模 1000000007 空间中，数字“5 和 6”与数字“0 和 1000000006”一样相邻。

给定，在正常的数轴上，a * b = c，模具有这样的性质，这也意味着(a%Z * b%Z)%Z = c%Z 对于任何 Z。加法也是如此；如果a + b = c，那么(a%Z + b%Z)%Z = c%Z 也是如此。您可以尝试一堆数字并见证这一点，或者尝试自己证明这一点，或者在网上搜索此属性的证明。

例子：

12 * 18 = 216
(12%7 * 18%7)%7 = 216%7
Yup, that checks out:
5 * 4 = 20
20%7 = 6.
216%7 is also 6.

因此：

1. 您的问题归结为乘法和加法的大量应用。
2. 乘以并添加转换到模数学没有问题。
3. 因此，您的算法有效。