我需要一个简单的函数
is_square :: Int -> Bool
确定 Int N 是否为完美正方形（是否存在整数 x 使得 x*x = N）。
当然我可以写类似的东西
is_square n = sq * sq == n
where sq = floor $ sqrt $ (fromIntegral n::Double)
但它看起来很糟糕！也许有一种常见的简单方法来实现这样的谓词？
【问题讨论】：
这样想，如果你有一个正整数 n，那么你基本上是在从 1 .. n 的数字范围上进行二进制搜索以找到第一个数字 n' 其中n' * n' = n .
我不知道 Haskell，但是这个 F# 应该很容易转换：
let is_perfect_square n =
let rec binary_search low high =
let mid = (high + low) / 2
let midSquare = mid * mid
if low > high then false
elif n = midSquare then true
else if n < midSquare then binary_search low (mid - 1)
else binary_search (mid + 1) high
binary_search 1 n
保证为 O(log n)。易于修改完美立方体和更高的幂。
【讨论】：
Int 在 Haskell 中是固定精度（通常是 32 位），所以我更喜欢问题中使用的浮点方法。如果N 是Integer（任意精度），我会使用你的方法。
arithmoi 包中包含一个 wonderful 库，可以解决 Haskell 中大多数与数论相关的问题。
使用Math.NumberTheory.Powers.Squares 库。
特别是isSquare' 函数。
is_square :: Int -> Bool
is_square = isSquare' . fromIntegral
该库已经过优化，并且经过了比您或我更致力于效率的人的严格审查。虽然它目前没有 this kind of shenanigans 在后台运行，但随着库的发展和获得更多，它可能会在未来优化。 View the source code 了解它的工作原理！
不要重新发明轮子，总是在可用时使用库。
【讨论】：
我认为您提供的代码是您将获得的最快的代码：
is_square n = sq * sq == n
where sq = floor $ sqrt $ (fromIntegral n::Double)
这段代码的复杂度是：1次sqrt，1次双乘，1次强制转换（dbl->int），1次比较。您可以尝试使用其他计算方法来仅用整数算术和移位来替换 sqrt 和乘法，但它可能不会比一个 sqrt 和一个乘法更快。
唯一值得使用另一种方法的地方是，如果您运行的 CPU 不支持浮点运算。在这种情况下，编译器可能必须在软件中生成 sqrt 和双倍乘法，您可以在针对特定应用程序进行优化时获得优势。
正如其他答案所指出的，大整数仍然存在限制，但除非您要遇到这些数字，否则利用浮点硬件支持可能比编写自己的算法更好。
【讨论】：
在对此问题的另一个答案的评论中，您讨论了memoization。请记住，当您的探针图案表现出良好的密度时，此技术会有所帮助。在这种情况下，这意味着一遍又一遍地测试相同的整数。您的代码重复相同工作并因此受益于缓存答案的可能性有多大？
您没有告诉我们您输入的分布情况，因此请考虑使用出色的 criterion 包进行快速基准测试：
module Main
where
import Criterion.Main
import Random
is_square n = sq * sq == n
where sq = floor $ sqrt $ (fromIntegral n::Double)
is_square_mem =
let check n = sq * sq == n
where sq = floor $ sqrt $ (fromIntegral n :: Double)
in (map check [0..] !!)
main = do
g <- newStdGen
let rs = take 10000 $ randomRs (0,1000::Int) g
direct = map is_square
memo = map is_square_mem
defaultMain [ bench "direct" $ whnf direct rs
, bench "memo" $ whnf memo rs
]
这个工作负载可能或可能不公平地代表您正在做的事情，但正如所写，缓存未命中率似乎太高了：
【讨论】：
维基百科的article on Integer Square Roots 有算法可以适应你的需要。牛顿的方法很好，因为它是二次收敛的，也就是说，每一步你得到两倍的正确数字。
如果输入可能大于2^53，我建议您远离Double，之后并非所有整数都可以精确表示为Double。
【讨论】：
isqrt 函数将消除类型转换。
哦，今天我需要确定一个数字是否是完美的立方体，并且类似的解决方案非常慢。
所以，我想出了一个非常聪明的替代方案
cubes = map (\x -> x*x*x) [1..]
is_cube n = n == (head $ dropWhile (<n) cubes)
非常简单。我想，我需要使用树来更快地查找，但现在我会尝试这个解决方案，也许它对我的任务来说足够快。如果没有，我将使用适当的数据结构编辑答案
【讨论】：
head/dropWhile 以及您的数字有多大。
Seq、Vector）和二分查找可能会快一个数量级
有时你不应该把问题分成太小的部分（比如检查is_square）：
intersectSorted [] _ = []
intersectSorted _ [] = []
intersectSorted xs (y:ys) | head xs > y = intersectSorted xs ys
intersectSorted (x:xs) ys | head ys > x = intersectSorted xs ys
intersectSorted (x:xs) (y:ys) | x == y = x : intersectSorted xs ys
squares = [x*x | x <- [ 1..]]
weird = [2*x+1 | x <- [ 1..]]
perfectSquareWeird = intersectSorted squares weird
【讨论】：
有一种非常简单的方法可以测试完美平方 - 顾名思义，就是检查数字的平方根中的小数部分是否有任何非零值。
我假设一个返回浮点的平方根函数，在这种情况下你可以做（Psuedocode）：
func IsSquare(N) sq = sqrt(N) return (sq modulus 1.0) equals 0.0
【讨论】：
它不是特别漂亮或快速，但这是一个基于牛顿方法的无强制转换、无 FPA 的版本，可以（缓慢地）处理任意大的整数：
import Control.Applicative ((<*>))
import Control.Monad (join)
import Data.Ratio ((%))
isSquare = (==) =<< (^2) . floor . (join g <*> join f) . (%1)
where
f n x = (x + n / x) / 2
g n x y | abs (x - y) > 1 = g n y $ f n y
| otherwise = y
可能会通过一些额外的数论技巧来加快速度。
【讨论】：