计算非对称字节

Question

我正在寻找一种简洁的方法来列出（8 位）整数，其二进制表示与另一个整数不同，直到旋转和反射。

例如，列表可能会以
开头 0
1
（跳过 2=10b，因为您可以将位旋转 1，因此跳过 2 的所有幂。此外，除 0 之外的每个数字都是奇数）
3=11b
5=101b 7=111b
9=1001b 11=1011b（所以 13=1101b 将被跳过，因为 11010000b 是 1101b 的反射，然后可以向右旋转 4 次） .
.
.

理想情况下，如何将其推广到具有不同位数（16、32 或仅 n）的数字以及 2 之外的其他基数。

Answer 1

因为@John Smith 认为我的评论是一个很好的答案，所以这是一个答案。

The answers here 可能很有启发性。

Answer 2

感谢 Jeffromi 更好地解释了这个问题——我已经删除了我之前的答案。

这是 Perl 中的另一个解决方案。 Perl 是解决这类问题的好语言，因为它可以轻松地将数字视为文本，将文本视为数字。

i: for $i (0..255) {
  $n1 = sprintf "%08b", $i;    # binary representation of $i

  $n2 = $n1;                   # "unreflected" copy of $n1
  $n3 = reverse $n1;           # "reflection" of $n1 

  for $j (1..8) {
    $n2 = chop($n2) . $n2;     # "rotate" $n2
    $n3 = chop($n3) . $n3;     # "rotate" $n3
    next i if $found{$n2} or $found{$n3};
  }

  # if we get here, we rotated $n2 and $n3 8 times
  # and didn't get a nonsymmetric byte that we've
  # seen before -- this is a nonsymmetric byte
  $found{$n1}++;
  print "$i   $n1\n";
}

这并不像之前的解决方案那么简单，但主要是尝试所有 16 种组合（2 次反射 x 8 次旋转）并将它们与您之前看到的所有非对称字节进行比较。

在 Perl 中有一个用于移位移位的运算符，但我使用的 chop($num) . $num 成语更好地概括了基础 n 的问题。

Answer 3

您可以使用筛子，类似于 Eratosthenes 的筛子来筛选素数。

使用位数组（Java 中为BitSet），每个数字一位。

最初标记所有位。

依次遍历位数组，直到找到设置在索引n 处的下一个位，这是您的集合中的一个数字。然后通过旋转和镜像清除从n 可以到达的所有其他数字的位。

在今天的机器上，最高 32 位是可行的，这将使用 512MB 的内存。

Answer 4

Eratosthenes 筛法的另一种解决方案是构建一个测试 T(k)，它对任何给定的 k 返回 True 或 False。

它会更慢，但这样就不需要存储，因此它可以更容易地扩展到任意数据长度。

如果您将问题简化一下，并说我们只是想丢弃反射，那就很容易了：

T_ref(k) returns true iff k <= Reflection(k).

至于旋转位，也可以完全一样：

T_rot(k) returns true iff k == MIN{the set of all rotations of k}

您可以考虑将整数分成一组等价类 E(k)，其中 E(k) 是 k 的所有反射和旋转排列的集合。

您可能需要花一点时间来满足自己，自然数集 N 很容易将自己划分为这些不相交的子集。

然后设置

{k s.t. k == MIN(E(k)) } 

将保证只包含每个等价类中的一个元素。

这将是一个非常好的面试问题。