二次方程的不稳定性

Question

我试图了解在求解 (4ac) 项与 (b) 项相比较小的二次方程时出现精度损失的位置。

我知道我们正在减去彼此接近的数字，结果接近于零。但是，如果我们总是针对相同的非常小的数字（接近于零），我不太明白为什么我们有替代算法来计算这个解决方案。我浏览了关于这个问题的维基百科文章，但我不明白。谁能为我的问题提供更多见解或资源让我更好地理解它？

感谢您的帮助，非常感谢。

Answer 1

在经典的二次公式中，(−b ± sqrt(b²-4ac)) / (2a)，当 4ac 比 b² 小时会出现问题，因为：

• 用于进行计算的浮点格式具有有限的宽度（精度），因此无法表示 b²-4ac 具有良好的准确性。 b² 强制比例（指数）较高，因此格式的低位处于较高比例，无法表示 4 的低值ac 很好。
• 这个误差相对于b²−4ac来说很小，但是，当sqrt(b2-4ac) 加到负数 -b 或从正数 -b 减去，前导位取消，产生一个小结果，相对于小结果，误差可能很大。

另一方面，方程的另一个解——我们通过将（正）平方根添加到正数 -b 或从负数中减去 -b ——没有这个问题。它是一个较大的数字，大约为 -2b，因此 sqrt(b²-4ac 中的错误) 相对于它来说很小。

因此建议是先计算这个解x₁，然后用它求解x_{2 sub> = c / (ax1).}