在 C 中做泰勒级数的另一种方法

Question

在我的课堂上，我的教授希望我们使用函数来求解 sinX、cosX 和 expX 的泰勒级数。

我解决它的速度相对较快，但是当我上交它时，他说他希望我先使用除法而不是乘法，基本上结合了我的 power 和 fact 函数。我不知道他为什么要这样做，因为我得到了正确的答案，但在我这样做之前他不会接受任务。

我尝试了几次来弄清楚这个解决方案，但我不是 Comp Sci 专业的，而且已经 6 年多没有学过数学了，所以它在我的大脑中转动齿轮非常困难。任何帮助将不胜感激。

double power(double x, int n)
{
    int     i = 0;
    double  prod = 1.;

    for ( ; i++ < n; )
        prod = prod * x;

    return prod;
}

double fact (int n)
{
    int     i;
    double prod = 1.;

    for (i = 1; i <= n; i++)
        prod = prod * i;

    return prod;
}

double mySin(double x)
{
    int     i, sign;
    double  sum = 0;

    for (i = 0, sign = 1; i < 21; i++, sign = -sign)
        sum = sum + sign * power(x, 2 * i + 1)/ fact(2 * i + 1);
    return sum;
}

double myCos(double x)
{
    int     i, sign;
    double  sum = 0;

    for(i = 0, sign = 1; i < 21; i++, sign = -sign)
        sum = sum + sign *power(x,2 * i)/ fact(2 * i);
    return sum;
}

double myExp(double x)
{
    int     i, sign;
    double  sum = 0;

    for(i = 0, sign = 1; i < 21; i++, sign = sign)
        sum = sum + sign * power(x, i)/ fact(i);
    return sum;
 }

Answer 1

幂函数和阶乘函数的使用效率低下。对于每个术语，您每次都在计算同一组产品。您还在构建可能导致精度损失的大量数字。

看看每个系列的定义（这里^表示幂，!表示阶乘）：

e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - + x^7/7! + ...
cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - + x^6/6! + ...

对于e^x，每个术语是x/n 乘以最后一个，其中n 是术语编号。同样，对于sin(x) 和cos(x)，每个术语是- x^2/((2n-1)*2n) 乘以最后一个。使用它而不是幂函数和阶乘函数来计算每个连续项。

还有一个很好的技巧，它涉及到一个数学上没有意义的比较，但由于浮点数的精度有限，无法知道何时停止计算项。看看你能不能弄明白。