Ivan Kuckir's DeCasteljau 是一种蛮力，但在许多情况下都有效。它的问题是迭代次数。实际形状和坐标之间的距离会影响结果的精度。而要找到一个足够精确的答案，你必须迭代数十次，可能更多。如果有急转弯，它可能会失败。
更好的解决方案是找到一阶导数根，如优秀网站http://processingjs.nihongoresources.com/bezierinfo/ 中所述。请阅读寻找曲线的末端部分。
上面的链接包含二次曲线和三次曲线的算法。
提问者对二次曲线感兴趣，所以这个答案的其余部分可能无关紧要，因为我提供了计算三次曲线末端的代码。
以下是三个 Javascript 代码，其中第一个（CODE 1）是我建议使用的。
** 代码 1 **
在测试 processingjs 和 Raphael 的解决方案后，我发现它们存在一些限制和/或错误。然后更多搜索，发现 Bonsai 是bounding box function，它是基于 NISHIO Hirokazu 的 Python 脚本。两者都有一个缺点，即使用== 测试双重相等。当我将这些更改为数值稳健的比较时，脚本在所有情况下都 100% 成功。我用数千条随机路径和所有共线案例测试了脚本，并且都成功了：
Various cubic curves
Random cubic curves
Collinear cubic curves
代码如下。通常left、right、top和bottom值都是需要的，但在某些情况下，知道局部极值点的坐标和相应的t值就可以了。所以我添加了两个变量：tvalues 和points。去掉它们的代码，你就有了快速稳定的边界框计算功能。
// Source: http://blog.hackers-cafe.net/2009/06/how-to-calculate-bezier-curves-bounding.html
// Original version: NISHIO Hirokazu
// Modifications: Timo
var pow = Math.pow,
sqrt = Math.sqrt,
min = Math.min,
max = Math.max;
abs = Math.abs;
function getBoundsOfCurve(x0, y0, x1, y1, x2, y2, x3, y3)
{
var tvalues = new Array();
var bounds = [new Array(), new Array()];
var points = new Array();
var a, b, c, t, t1, t2, b2ac, sqrtb2ac;
for (var i = 0; i < 2; ++i)
{
if (i == 0)
{
b = 6 * x0 - 12 * x1 + 6 * x2;
a = -3 * x0 + 9 * x1 - 9 * x2 + 3 * x3;
c = 3 * x1 - 3 * x0;
}
else
{
b = 6 * y0 - 12 * y1 + 6 * y2;
a = -3 * y0 + 9 * y1 - 9 * y2 + 3 * y3;
c = 3 * y1 - 3 * y0;
}
if (abs(a) < 1e-12) // Numerical robustness
{
if (abs(b) < 1e-12) // Numerical robustness
{
continue;
}
t = -c / b;
if (0 < t && t < 1)
{
tvalues.push(t);
}
continue;
}
b2ac = b * b - 4 * c * a;
sqrtb2ac = sqrt(b2ac);
if (b2ac < 0)
{
continue;
}
t1 = (-b + sqrtb2ac) / (2 * a);
if (0 < t1 && t1 < 1)
{
tvalues.push(t1);
}
t2 = (-b - sqrtb2ac) / (2 * a);
if (0 < t2 && t2 < 1)
{
tvalues.push(t2);
}
}
var x, y, j = tvalues.length,
jlen = j,
mt;
while (j--)
{
t = tvalues[j];
mt = 1 - t;
x = (mt * mt * mt * x0) + (3 * mt * mt * t * x1) + (3 * mt * t * t * x2) + (t * t * t * x3);
bounds[0][j] = x;
y = (mt * mt * mt * y0) + (3 * mt * mt * t * y1) + (3 * mt * t * t * y2) + (t * t * t * y3);
bounds[1][j] = y;
points[j] = {
X: x,
Y: y
};
}
tvalues[jlen] = 0;
tvalues[jlen + 1] = 1;
points[jlen] = {
X: x0,
Y: y0
};
points[jlen + 1] = {
X: x3,
Y: y3
};
bounds[0][jlen] = x0;
bounds[1][jlen] = y0;
bounds[0][jlen + 1] = x3;
bounds[1][jlen + 1] = y3;
tvalues.length = bounds[0].length = bounds[1].length = points.length = jlen + 2;
return {
left: min.apply(null, bounds[0]),
top: min.apply(null, bounds[1]),
right: max.apply(null, bounds[0]),
bottom: max.apply(null, bounds[1]),
points: points, // local extremes
tvalues: tvalues // t values of local extremes
};
};
// Usage:
var bounds = getBoundsOfCurve(532,333,117,305,28,93,265,42);
console.log(JSON.stringify(bounds));
// Prints: {"left":135.77684049079755,"top":42,"right":532,"bottom":333,"points":[{"X":135.77684049079755,"Y":144.86387466397255},{"X":532,"Y":333},{"X":265,"Y":42}],"tvalues":[0.6365030674846626,0,1]}
CODE 2（在共线情况下失败）：
我将代码从http://processingjs.nihongoresources.com/bezierinfo/sketchsource.php?sketch=tightBoundsCubicBezier 翻译成Javascript。该代码在正常情况下可以正常工作，但在所有点都在同一条线上的共线情况下就不行了。
供参考，这里是Javascript代码。
function computeCubicBaseValue(a,b,c,d,t) {
var mt = 1-t;
return mt*mt*mt*a + 3*mt*mt*t*b + 3*mt*t*t*c + t*t*t*d;
}
function computeCubicFirstDerivativeRoots(a,b,c,d) {
var ret = [-1,-1];
var tl = -a+2*b-c;
var tr = -Math.sqrt(-a*(c-d) + b*b - b*(c+d) +c*c);
var dn = -a+3*b-3*c+d;
if(dn!=0) { ret[0] = (tl+tr)/dn; ret[1] = (tl-tr)/dn; }
return ret;
}
function computeCubicBoundingBox(xa,ya,xb,yb,xc,yc,xd,yd)
{
// find the zero point for x and y in the derivatives
var minx = 9999;
var maxx = -9999;
if(xa<minx) { minx=xa; }
if(xa>maxx) { maxx=xa; }
if(xd<minx) { minx=xd; }
if(xd>maxx) { maxx=xd; }
var ts = computeCubicFirstDerivativeRoots(xa, xb, xc, xd);
for(var i=0; i<ts.length;i++) {
var t = ts[i];
if(t>=0 && t<=1) {
var x = computeCubicBaseValue(t, xa, xb, xc, xd);
var y = computeCubicBaseValue(t, ya, yb, yc, yd);
if(x<minx) { minx=x; }
if(x>maxx) { maxx=x; }}}
var miny = 9999;
var maxy = -9999;
if(ya<miny) { miny=ya; }
if(ya>maxy) { maxy=ya; }
if(yd<miny) { miny=yd; }
if(yd>maxy) { maxy=yd; }
ts = computeCubicFirstDerivativeRoots(ya, yb, yc, yd);
for(i=0; i<ts.length;i++) {
var t = ts[i];
if(t>=0 && t<=1) {
var x = computeCubicBaseValue(t, xa, xb, xc, xd);
var y = computeCubicBaseValue(t, ya, yb, yc, yd);
if(y<miny) { miny=y; }
if(y>maxy) { maxy=y; }}}
// bounding box corner coordinates
var bbox = [minx,miny, maxx,miny, maxx,maxy, minx,maxy ];
return bbox;
}
CODE 3（适用于大多数情况）：
为了处理共线的情况，我找到了 Raphael 的解决方案，它基于与 CODE 2 相同的一阶导数方法。我还添加了一个返回值 dots，它具有极值点，因为它总是不够知道边界框的最小和最大坐标，但我们想知道确切的极值坐标。
编辑：发现另一个错误。失败例如。在 532,333,117,305,28,93,265,42 以及许多其他情况下。
代码在这里：
Array.max = function( array ){
return Math.max.apply( Math, array );
};
Array.min = function( array ){
return Math.min.apply( Math, array );
};
var findDotAtSegment = function (p1x, p1y, c1x, c1y, c2x, c2y, p2x, p2y, t) {
var t1 = 1 - t;
return {
x: t1*t1*t1*p1x + t1*t1*3*t*c1x + t1*3*t*t * c2x + t*t*t * p2x,
y: t1*t1*t1*p1y + t1*t1*3*t*c1y + t1*3*t*t * c2y + t*t*t * p2y
};
};
var cubicBBox = function (p1x, p1y, c1x, c1y, c2x, c2y, p2x, p2y) {
var a = (c2x - 2 * c1x + p1x) - (p2x - 2 * c2x + c1x),
b = 2 * (c1x - p1x) - 2 * (c2x - c1x),
c = p1x - c1x,
t1 = (-b + Math.sqrt(b * b - 4 * a * c)) / 2 / a,
t2 = (-b - Math.sqrt(b * b - 4 * a * c)) / 2 / a,
y = [p1y, p2y],
x = [p1x, p2x],
dot, dots=[];
Math.abs(t1) > "1e12" && (t1 = 0.5);
Math.abs(t2) > "1e12" && (t2 = 0.5);
if (t1 >= 0 && t1 <= 1) {
dot = findDotAtSegment(p1x, p1y, c1x, c1y, c2x, c2y, p2x, p2y, t1);
x.push(dot.x);
y.push(dot.y);
dots.push({X:dot.x, Y:dot.y});
}
if (t2 >= 0 && t2 <= 1) {
dot = findDotAtSegment(p1x, p1y, c1x, c1y, c2x, c2y, p2x, p2y, t2);
x.push(dot.x);
y.push(dot.y);
dots.push({X:dot.x, Y:dot.y});
}
a = (c2y - 2 * c1y + p1y) - (p2y - 2 * c2y + c1y);
b = 2 * (c1y - p1y) - 2 * (c2y - c1y);
c = p1y - c1y;
t1 = (-b + Math.sqrt(b * b - 4 * a * c)) / 2 / a;
t2 = (-b - Math.sqrt(b * b - 4 * a * c)) / 2 / a;
Math.abs(t1) > "1e12" && (t1 = 0.5);
Math.abs(t2) > "1e12" && (t2 = 0.5);
if (t1 >= 0 && t1 <= 1) {
dot = findDotAtSegment(p1x, p1y, c1x, c1y, c2x, c2y, p2x, p2y, t1);
x.push(dot.x);
y.push(dot.y);
dots.push({X:dot.x, Y:dot.y});
}
if (t2 >= 0 && t2 <= 1) {
dot = findDotAtSegment(p1x, p1y, c1x, c1y, c2x, c2y, p2x, p2y, t2);
x.push(dot.x);
y.push(dot.y);
dots.push({X:dot.x, Y:dot.y});
}
// remove duplicate dots
var dots2 = [];
var l = dots.length;
for(var i=0; i<l; i++) {
for(var j=i+1; j<l; j++) {
if (dots[i].X === dots[j].X && dots[i].Y === dots[j].Y)
j = ++i;
}
dots2.push({X: dots[i].X, Y: dots[i].Y});
}
return {
min: {x: Array.min(x), y: Array.min(y)},
max: {x: Array.max(x), y: Array.max(y)},
dots: dots2 // these are the extrema points
};
};