这七个点在寻找最近的一对点时的解释答案

【问题标题】：Explanation of these seven points in finding the closest pair of points这七个点在寻找最近的一对点时的解释
【发布时间】：2021-10-11 22:13:27
【问题描述】：

我试图掌握各种文献中最近对点问题的解释。虽然它们的基本方法都是相同的，即分而治之（分而治之）和线性时间合并（合并/征服），但实际实现在文章和书籍之间略有不同。

线性时间合并是这里的关键，它试图限制要比较的点数。

Kleinberg book 中考虑点的方式与 Wikipedia article 或 Cormen book 中考虑点的方式略有不同。

无论如何，对于后两者，我们可以很好地解释要考虑的点数 here 和 here，包括许多其他点。

对于手头的问题，请查看these slides（幻灯片32）的Kleinberg book。 11 point gap 的声明在同一张幻灯片中。更详细的解释可以在第 6 页第 6.2.5.6 节中找到here。

但是，在above mentioned slides （幻灯片 32）的同一页面中，我们发现了类似的声明，“如果我们将 12 替换为 7，仍然如此。”

我未能找到对上述主张的解释。

请看下图，

如果我们考虑将红点与右半部分的点进行比较，那么点右半部分应在阴影半圈内。我试图把极端的穿蓝色衣服。它们仍然是 |5-(-2)|+1 = 8 和 |5-15|+1 = 11。

我可能在这里遗漏了什么？

【问题讨论】：

好问题。您介意添加一个简短的介绍性段落来提供一些上下文吗？
在顶部添加了几行，希望达到目的。
您不能在每个方格中放置一个实际点并且不违反条件。尝试放置实际点。
@ElKamina 看起来我已经开始来想象你的意思了。存在圆时，相邻方格中的点将违反不比 delta 更近的条件。我在绘图软件中实际看到了这一点。有数学方法吗？
@MMA 请参阅下面的答案。

【解决方案1】：

实际上，您不需要计算下半部分点的距离，因为在您的范围内，如果您考虑根据 y 轴排序的点，那么您从底部开始，只考虑上面区域中的点它。

【讨论】：

如果你对称地运行算法，这是正确的（即左部分和右部分扮演相同的角色）。然而，这不是通常讨论的变体。通常，您选择一侧（左侧或右侧），从下到上遍历 that 一侧的点，然后检查 other 一侧可能靠近当前点。这些点可能高于或低于当前点。

【解决方案2】：

您实际上可以在网格上放置 9 个点。如果以 (0,0) 为中心并假设 delta=1，则在 (-1,-1)、(-1,0)、...、(1,1) 处可以有 9 个点。

证明最多只有9个：

即使在最佳包装下，您也只能有 3 层圆，每层半径为 (1/2)，所有圆心都在 2X2 正方形内。

因此，在此之后差异下降到 8。要达到七，您必须假设它不是特殊情况（我忘记了它的技术术语，但它是计算几何中的一个流行假设。它还指出 3 个点不能在同一条线上。它被称为“一般性假设”或类似的东西。

【讨论】：

您介意详细说明最后一部分吗？搜索“一般性假设”没有返回任何内容。我真的很想明白这一点。
@MMA 目前我找不到任何参考资料。假设一般来说，一条直线上没有三个点，平面上没有 4 个点，n 超平面上也没有 n+1 个点等。
@ElKamina 不，你不需要这个问题的一般性假设。我认为你的解释是不正确的。我们只对左侧（负 x）半正方形中的一个点感兴趣。我们知道该半正方形中的所有其他点与该点的距离不小于 d。我们需要检查另一半。

【解决方案3】：

根据CLRS33.4：

在 l 行的左边有 2 个点（见最左边的 2 个点），在 l 行的右边有 2 个点（见最右边2 点），在 l 线上 4 点（PL 和 PR 都在同一点上）。

2 + 2 + 4 = 8

不包括自我，所以是8 - 1 = 7

例如我们正在计算 PL（l 上的上点）与其他点之间的距离，让我们逆时针计算：

【讨论】：