显示运行时的困难是 bigOmega(g(n))答案

【问题标题】：Difficulty showing run-time is bigOmega(g(n))显示运行时的困难是 bigOmega(g(n))
【发布时间】：2014-02-06 04:00:17
【问题描述】：

我在使用以下算法时遇到了一些问题：

for (int i = 1; i < n; i = 2i)
    for (int j = i; j < n; j++)
        // do something (const time)

所以显示运行时为 O(nlogn) 并不难 - 但我不确定如何显示它是 Big Omega(nlogn)！直觉上，我认为一定是这样，因为对于给定的 n，时间复杂度在最佳/最坏情况之间没有变化。

任何建议将不胜感激！

【问题讨论】：

如果你能找到一个常量c1 来为一些大于0 的n0 显示f(n) < c1*nlogn，那么找到一个c2 来为一些大于0 的n0 显示c2*nlogn < f(n) 应该是微不足道的
对 - 我可以说内部循环必须执行至少 n/2 次，所以 c 是 1/2？
内部循环执行n + (n-2) + (n-4) + (n-8)... 次，我们知道我们将有log(n) 的(n-i) 总和，所以如果我们把它分开（感谢交换性/关联性）我们应该显示内部循环执行n + n + n ... - 2 - 4 - 8 -...，因此我们有n*logn 的计数n's，我们将2^i 与i = 1 to logn 相加，等于2^(logn+1) -1，我们可以将其减少为2n-1。使用此信息设置不等式并找到 c2
好吧..所以根据你的计算，这个算法实际上是 O(n) 而不是 O(nlogn)？
不 - 我的数学是（非常轻微的）。我将把它移到上一篇文章之前应该有的答案。

【解决方案1】：

在此算法中，没有最佳或最差执行路径：给定n 的值，执行路径是固定的。所以最好和最坏的情况是一样的。

一个好的经验法则是，如果算法的控制流不是数据驱动的，那么最好和最坏的情况是相同的。

我所说的数据驱动的一个例子是快速排序算法的实现，其中始终选择枢轴作为数组的第一个元素。有时第一个元素会完美地分割其余数据（最佳情况），有时会是最大值或最小值（最坏情况）。

【讨论】：

是的，这是有道理的，但假设我们想要更严格地证明这一点。我们真的必须为运行时派生一个显式函数吗？在这种情况下会是什么样子？
我认为 f(n) 是 (j - i) 从 1 到 logn 的总和，但我不知道如何进一步证明它实际上是 Big Omega的 nlogn
@codeMonkey17 这是 100% 严格的。你已经给出了为什么最坏的情况是 O(n log n) 的论据。您可以通过说控制流完全由 n 的值决定来扩展该论点。因此最好的情况是 Omega(n log n)。

【解决方案2】：

要了解为什么这是 O(nlogn) 背后的直觉，我们需要做的就是查看内部循环执行了多少次。

正如您所说，外部循环执行 logn 次（很容易看到，因为在不等式停止成立之前，您只能将 i logn 加倍）

所以对于内部循环，我们可以看到每次i 发生变化时它执行的步数都不同

第一次迭代，它执行n-1 次（因为i 从1 开始）

下一次迭代，n-2

第三次迭代，n-4

我们可以看到模式是(n-1) + (n-2) + (n-4) + (n-8) ...

现在，让我们一起分离出n's。我们有多少(n-k) 添加？通过知道外循环执行了多少次，我们拥有其中的logn。

所以n + n + n + n ... - 1 - 2 - 4 - 8...可以被认为是nlogn - 1 - 2 - 4 - 8 ...

现在，我们如何证明这可以进一步减少？那么我们的减法总数是logn减法（感谢外循环），我们知道减法的大小每次都加倍。另一种看待它的方式是来自i = 0 to logn 的2^i 的总和。

现在一个标准的 CS 公式是 sum of i = 0 to n 的 2^i 是 2^(n+1) - 1。这用于显示完整二叉树中的最大节点数，您可以通过归纳来证明。

所以我们将公式中的logn 替换为n，得到nlogn - (2^(logn+1)- 1)。但我们还没有完成。我们可以证明2^(logn+1) = 2*2^logn=2*n。所以最后，我们得到了nlogn - 2n + 1。此时，设置您的不等式并找到c2。

【讨论】：