Haskell 中的梯形规则

Question

我正在尝试在 Haskell 中定义梯形规则。我创建了一个辅助函数 innerSum，它是梯形规则的总和部分。然后在积分定义中，我乘以距离并取下界、上界、一个函数和一些 n 个梯形。随着 n 的增加，答案应该变得更加准确。我的功能似乎适用于大多数情况

除了这种情况（可能还有其他情况）： 定积分 (-1) 1 (\x->x^100) 20.

当我将值更改为 20 而不是我的答案偏离某个特定值并变得更准确时，数字只是随机跳跃。我似乎找不到错误

definiteIntegral :: Double -> Double -> (Double -> Double) -> Integer -> Double
definiteIntegral a b g n | a <= b = (dist a b n)*(innerSum a b g (dist a b n))
                         | otherwise = (dist a b n)*(innerSum b a g (dist b a n))
                         where dist a b n = (b-a)/(fromIntegral n::Double)

innerSum :: Double -> Double -> (Double -> Double) -> Double -> Double
innerSum a b g d | a >= b = 0
                 | otherwise = (((g a) + (g (a + d)))/2)+(innerSum (a + d) b g d) 

Answer 1

问题是你的结束条件。你计算步长，所以原则上，你应该在n 步之后正好在正确的边界处结束。如果您确保步长可以用浮点数精确表示，即 2 的幂的倍数，那确实会起作用：

*Main> definiteIntegral (-1) 1 (^100) <$> [64, 128, 256, 512, 1024]
[3.396429282002939e-2,2.3718601030590182e-2,2.08093271780123e-2,2.0055667986086628e-2,1.9865519301509465e-2]
     -- convergence towards 1.98×10⁻²

但大多数数字can not be exactly represented in FP，因此您经常不会准确地到达正确的边界。如果最后一点略低于该界限，则算法将执行一个完整的额外步骤，即您将一个小的浮点误差放大为一个整步误差。从数值上讲，它“只是”一个 1 阶错误，因为随着分辨率的增加，单步大小会变得越来越小。 （仍然很糟糕，因为梯形规则实际上应该是二阶准确的！）

(^100) 的问题尤其是：该函数在区间 [-1,1] 的大部分时间都非常接近于零，但在 ±1 附近增长得非常快。因此区间的结果由紧邻边界的飞人控制，更受边界外的飞人控制！

最简单的解决方法是去掉 innerSum 函数并改用内置工具：

definiteIntegral :: Double -> Double -> (Double -> Double) -> Integer -> Double
definiteIntegral a b g n
    | a <= b = - definiteIntegral b a g n
    | otherwise = δ * sum [ (g x + g (x+δ))/2
                          | x <- [a, a+δ .. b] ]
 where δ = (b-a) / fromIntegral n

in this question 解释了为什么即使步长没有精确表示也能可靠工作：如果前一个已经接近边界而下一个将拒绝采取额外的步骤，例如 [a, a+δ .. b]带你超越界限。